Dados f(t) = j + t^2 k
e
g(t) = t^2 * j - t * k
determinar:
(g(t) · g(t))'.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções vetoriais, e . A gente precisa determinar a derivada, ou seja, a taxa de variação em relação a t, do produto escalar de consigo mesma, que é representado por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a derivada de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado da magnitude desse vetor. Mas vamos fazer isso passo a passo. A função é dada por . Então,

Passo 3

Agora, vamos expandir esse produto escalar. Lembrando que , e (já que são vetores perpendiculares), temos:

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar a derivada dessa expressão em relação a t. Para isso, usamos as regras de derivação:

Passo 5

Somando essas derivadas, temos:

Resposta

A derivada de em relação a t é .

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