Dados
e
determinar:
.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções vetoriais,
e
. A gente precisa determinar a derivada, ou seja, a taxa de variação em relação a
, do produto escalar de
consigo mesma, que é representado por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a derivada de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado da magnitude desse vetor. Mas vamos fazer isso passo a passo. A função
é dada por
. Então,
Passo 3
Agora, vamos expandir esse produto escalar. Lembrando que
,
e
(já que são vetores perpendiculares), temos:
Passo 4
Agora que temos
, vamos encontrar a derivada dessa expressão em relação a
. Para isso, usamos as regras de derivação:
Passo 5
Somando essas derivadas, temos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é
.