Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde r e K são constantes positivas. Resolva a equação de Gompertz sujeita a condição inicial .

Passo 1

Então, a gente tem uma equação que descreve como a população cresce ao longo do tempo. Essa é a equação de Gompertz:
Aqui, e são constantes positivas. A gente precisa resolver essa equação diferencial considerando que no tempo , a população é , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa resolver essa equação. Resolver uma equação diferencial é encontrar uma função que, quando derivada em relação ao tempo , satisfaz a equação dada.

Passo 3

A equação de Gompertz é uma equação diferencial não linear devido ao termo . Para facilitar, vamos reescrever a equação:

Passo 4

Vamos separar as variáveis e para poder integrar. Isso significa que vamos reorganizar a equação para ter todas as expressões envolvendo de um lado e as que envolvem do outro lado.
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 5

Agora, precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode ser simplificada. Vamos fazer a substituição , então . A equação fica:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Substituindo de volta , temos:

Passo 7

Vamos resolver para :
Podemos reescrever como uma nova constante :

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante.

Passo 9

Rearranjando para isolar :
Aplicando a exponenciação novamente:

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Dessa forma:

Passo 11

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução da equação de Gompertz com a condição inicial é:

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e a curva que une os pontos até .
Determine a função potencial e use a função potencial para calcular a integral do ítem (a).
e a curva que une os pontos até .
Calcule a integral .
No problema correspondente a você, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular (justifique se o limite existir ou se não existir, de forma que não pareça que os resultados chegaram por arte de mágica):
.
No problema correspondente a você:
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
.