Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde r e K são constantes positivas. Resolva a equação de Gompertz sujeita a condição inicial
.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação que descreve como a população cresce ao longo do tempo. Essa é a equação de Gompertz:
Aqui,
e
são constantes positivas. A gente precisa resolver essa equação diferencial considerando que no tempo
, a população é
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa resolver essa equação. Resolver uma equação diferencial é encontrar uma função
que, quando derivada em relação ao tempo
, satisfaz a equação dada.
Passo 3
A equação de Gompertz é uma equação diferencial não linear devido ao termo
. Para facilitar, vamos reescrever a equação:
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
para poder integrar. Isso significa que vamos reorganizar a equação para ter todas as expressões envolvendo
de um lado e as que envolvem
do outro lado.
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Agora, precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode ser simplificada. Vamos fazer a substituição
, então
. A equação fica:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Substituindo de volta
, temos:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma constante.
Passo 9
Rearranjando para isolar
:
Aplicando a exponenciação novamente:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Dessa forma:
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução da equação de Gompertz com a condição inicial
é:
Exercícios relacionados
Determine a função potencial
Calcule a integral
No problema correspondente a você, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular (justifique se o limite existir ou se não existir, de forma que não pareça que os resultados chegaram por arte de mágica):
.
No problema correspondente a você:
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
.
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.