No problema correspondente a você, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular (justifique se o limite existir ou se não existir, de forma que não pareça que os resultados chegaram por arte de mágica):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar todos os pontos singulares da equação diferencial dada e determinar se cada um deles é regular ou irregular. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especialmente sobre pontos singulares e pontos singulares regulares. Precisaremos reescrever a equação na forma padrão e analisar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial na forma padrão de segunda ordem:
Para facilitar a análise, precisamos dividir todos os termos por
onde:
Passo 3
Agora, identificamos onde os coeficientes
e
não são analíticos, ou seja, onde eles têm singularidades. Essas singularidades ocorrem nos valores de
que anulam os denominadores de
e
. Observando as frações:
- Para
: Denominador é zero quando . - Para
: Denominador é zero quando ou .
Portanto, os pontos singulares são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar se cada ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos os critérios de regularidade:
- Um ponto singular
é regular se os limites:
existirem e forem finitos.
- Caso contrário, o ponto é irregular.
Passo 5
Vamos analisar cada ponto singular:
Para
:
- Calculando
:
Esse limite tende ao infinito, portanto não existe.
- Já que o primeiro limite não existe, não precisamos calcular o segundo. Logo,
é um ponto singular irregular.
Para
:
- Calculando
:
Pois
- Calculando
:
Como ambos os limites existem e são finitos,
é um ponto singular regular.
Resposta
Os pontos singulares da equação são:
-
: ponto singular irregular. -
: ponto singular regular.