No problema correspondente a você, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular (justifique se o limite existir ou se não existir, de forma que não pareça que os resultados chegaram por arte de mágica):
(x+2)^(2)(x-1) y'' + 3(x-1) y' - 2(x+2) y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar todos os pontos singulares da equação diferencial dada e determinar se cada um deles é regular ou irregular. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especialmente sobre pontos singulares e pontos singulares regulares. Precisaremos reescrever a equação na forma padrão e analisar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial na forma padrão de segunda ordem:

Para facilitar a análise, precisamos dividir todos os termos por , deixando a equação na forma:
onde:

Passo 3

Agora, identificamos onde os coeficientes P(x) e Q(x) não são analíticos, ou seja, onde eles têm singularidades. Essas singularidades ocorrem nos valores de x que anulam os denominadores de P(x) e Q(x). Observando as frações:
  • Para P(x): Denominador é zero quando .
  • Para Q(x): Denominador é zero quando ou x = 1.
Portanto, os pontos singulares são e x = 1.

Passo 4

Agora, vamos determinar se cada ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos os critérios de regularidade:
  • Um ponto singular é regular se os limites:

existirem e forem finitos.
- Caso contrário, o ponto é irregular.

Passo 5

Vamos analisar cada ponto singular:
Para :
  • Calculando :

Esse limite tende ao infinito, portanto não existe.
  • Já que o primeiro limite não existe, não precisamos calcular o segundo. Logo, é um ponto singular irregular.
Para x = 1:
  • Calculando :

Pois vai a zero e o denominador é .
  • Calculando :
Como ambos os limites existem e são finitos, x = 1 é um ponto singular regular.

Resposta

Os pontos singulares da equação são:
  • : ponto singular irregular.
  • x = 1: ponto singular regular.

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