Dados
e
, em que
é um escalar, ache: a)
tal que A e B sejam ortogonais; b)
tal que
e
sejam paralelos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem dois vetores, A e B, e precisa encontrar um valor para k que faça com que A e B sejam ortogonais (ou seja, perpendiculares) na parte a), e paralelos na parte b). Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar para a primeira parte e múltiplos escalares para a segunda. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores A = a₁i + a₂j e B = b₁i + b₂j é dado por:
Então, vamos calcular o produto escalar de A e B e igualar a zero para encontrar k.
A =
B =
B =
Calculando o produto escalar:
Para que A e B sejam ortogonais:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), onde queremos que os vetores A e B sejam paralelos. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real λ tal que:
Vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores.
A =
B =
B =
Igualando as componentes:
Agora, resolvemos o sistema para encontrar k e λ.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por k para eliminar a fração:
Aqui, percebemos que não existe número real k que satisfaça essa equação, já que o quadrado de um número real não pode ser negativo.
Resposta
a) k = 0 para que A e B sejam ortogonais.
b) Não existe valor real de k que faça A e B serem paralelos.
b) Não existe valor real de k que faça A e B serem paralelos.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
b) , para todo
;
b)
Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial do
.
d)
d)
Sejam
um operador linear e
seu polinômio característico. Mostre que se
, então
é diagonalizável.
Seja
.
© Encontre a distancia de P a origem .
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