Dados A=5 i-k j e B=k i+6 j, em que k é um escalar, ache: a) k tal que A e B sejam ortogonais; b) k tal que A e B sejam paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem dois vetores, A e B, e precisa encontrar um valor para k que faça com que A e B sejam ortogonais (ou seja, perpendiculares) na parte a), e paralelos na parte b). Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar para a primeira parte e múltiplos escalares para a segunda. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores A = a₁i + a₂j e B = b₁i + b₂j é dado por:
A cdot B = a₁b₁ + a₂b₂
Então, vamos calcular o produto escalar de A e B e igualar a zero para encontrar k.
A = 5i - kj
B = ki + 6j
Calculando o produto escalar:
A cdot B = (5)(k) + (-k)(6) = 5k - 6k = -k
Para que A e B sejam ortogonais:
- k = 0 implies k = 0

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), onde queremos que os vetores A e B sejam paralelos. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real λ tal que:
A = lambda B
Vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores.
A = 5i - kj
B = ki + 6j
Igualando as componentes:
5 = lambda k (componente i) - k = lambda 6 (componente j)
Agora, resolvemos o sistema para encontrar k e λ.
Da primeira equação:
lambda = 5k
Substituindo na segunda equação:
- k = (5k) 6 implies -k = 30k
Multiplicando ambos os lados por k para eliminar a fração:
- k^2 = 30 implies k^2 = -30
Aqui, percebemos que não existe número real k que satisfaça essa equação, já que o quadrado de um número real não pode ser negativo.

Resposta

a) k = 0 para que A e B sejam ortogonais.
b) Não existe valor real de k que faça A e B serem paralelos.

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