Sejam T: V V um operador linear e p(x) seu polinômio característico. Mostre que se p(x)=(x-lambda1) cdots (x-lambdak), então T é diagonalizável.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos um operador linear e seu polinômio característico . O enunciado nos diz que . Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, o operador é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de polinômios característicos, autovalores, autovetores e a definição de operadores diagonalizáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Para um operador linear , o polinômico característico é definido por , onde é a matriz identidade. Os coeficientes desse polinômico nos dão informações sobre os autovalores do operador .

Passo 3

Dado que , isso significa que os autovalores de são . Além disso, cada fator aparece apenas uma vez, o que indica que cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para que seja diagonalizável, é necessário que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual à sua multiplicidade algébrica. A multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio associado a cada , ou seja, .

Passo 5

Como cada aparece apenas uma vez no polinômio característico, a multiplicidade algébrica de cada é 1. Isso significa que . Mas como a multiplicidade algébrica é 1, deve ser exatamente 1, ou seja, .

Passo 6

Portanto, para cada , a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica. Isso satisfaz a condição necessária para que seja diagonalizável, segundo o teorema que afirma que um operador linear é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à algébrica.

Resposta

Assim, mostramos que é diagonalizável.

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