Sejam
um operador linear e
seu polinômio característico. Mostre que se
, então
é diagonalizável.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos um operador linear
e seu polinômio característico
. O enunciado nos diz que
. Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, o operador
é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de polinômios característicos, autovalores, autovetores e a definição de operadores diagonalizáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Para um operador linear
, o polinômico característico
é definido por
, onde
é a matriz identidade. Os coeficientes desse polinômico nos dão informações sobre os autovalores do operador
.
Passo 3
Dado que
, isso significa que os autovalores de
são
. Além disso, cada fator
aparece apenas uma vez, o que indica que cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1.
Passo 4
Para que
seja diagonalizável, é necessário que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual à sua multiplicidade algébrica. A multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio associado a cada
, ou seja,
.
Passo 5
Como cada
aparece apenas uma vez no polinômio característico, a multiplicidade algébrica de cada
é 1. Isso significa que
. Mas como a multiplicidade algébrica é 1, deve ser exatamente 1, ou seja,
.
Passo 6
Portanto, para cada
, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica. Isso satisfaz a condição necessária para que
seja diagonalizável, segundo o teorema que afirma que um operador linear é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à algébrica.
Resposta
Assim, mostramos que
é diagonalizável.
Exercícios relacionados
Dados
e
, em que
é um escalar, ache: a)
tal que A e B sejam ortogonais; b)
tal que
e
sejam paralelos.
Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
b) , para todo
;
b)
Seja
.
© Encontre a distancia de P a origem .
© Encontre a distancia de P a origem
Seja
um operador linear. Mostre que se
, então
tem no máximo
autovalores.