Dados
subconjuntos de
, determine os subespaços
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de vetores em
:
e
. A tarefa é descobrir quais são os subespaços
(a soma de
e
) e
(a interseção de
e
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma e interseção de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que você consegue obter somando um vetor de
com um vetor de
. Ou seja:
Então, vamos pegar um vetor qualquer de
e somar com um vetor qualquer de
.
Passo 3
Um vetor geral de
tem a forma
e um vetor geral de
tem a forma
, onde
são números reais. Vamos somar esses dois vetores:
Então, todo vetor em
tem a forma
.
Passo 4
Agora, para entender melhor como fica o conjunto
, podemos reparametrizar as variáveis. Vamos chamar
e
. Assim, nosso vetor fica:
Mas
e
são apenas combinações lineares de números reais, então eles também pertencem a
. Portanto,
é na verdade todo o conjunto
, pois qualquer vetor de
pode ser obtido dessa soma.
Passo 5
Agora vamos para a interseção
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão simultaneamente em
e em
. Um vetor em
tem a forma
e em
tem a forma
. Para que um vetor seja nos dois conjuntos, precisamos que:
O que implica que
e
. Ou seja,
.
Passo 6
Então, os vetores que estão em
são aqueles onde, além da primeira coordenada ser 0, as segunda e terceira coordenadas são iguais. Isso significa que:
Isso mostra que
é exatamente o conjunto
, já que todo vetor de
satisfaz essa condição.
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que: se
é um espaço vetorial e
e
são subespaços de
, então vale que:
Dados
subconjuntos de
, mostre que
e
são subespaços de
.
Sendo
, encontre as coordenadas e a norma dos seguintes vetores:
O gerador do subespaço
é o conjunto: