Dados subconjuntos de , determine os subespaços e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de vetores em : e . A tarefa é descobrir quais são os subespaços (a soma de e ) e (a interseção de e ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma e interseção de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que você consegue obter somando um vetor de com um vetor de . Ou seja:
Então, vamos pegar um vetor qualquer de e somar com um vetor qualquer de .

Passo 3

Um vetor geral de tem a forma e um vetor geral de tem a forma , onde são números reais. Vamos somar esses dois vetores:
Então, todo vetor em tem a forma .

Passo 4

Agora, para entender melhor como fica o conjunto , podemos reparametrizar as variáveis. Vamos chamar e . Assim, nosso vetor fica:
Mas e são apenas combinações lineares de números reais, então eles também pertencem a . Portanto, é na verdade todo o conjunto , pois qualquer vetor de pode ser obtido dessa soma.

Passo 5

Agora vamos para a interseção . Isso significa encontrar todos os vetores que estão simultaneamente em e em . Um vetor em tem a forma e em tem a forma . Para que um vetor seja nos dois conjuntos, precisamos que:
O que implica que e . Ou seja, .

Passo 6

Então, os vetores que estão em são aqueles onde, além da primeira coordenada ser 0, as segunda e terceira coordenadas são iguais. Isso significa que:
Isso mostra que é exatamente o conjunto , já que todo vetor de satisfaz essa condição.

Resposta

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Mostre que: se é um espaço vetorial e e são subespaços de , então vale que:
Dados subconjuntos de , mostre que e são subespaços de .
Sendo , encontre as coordenadas e a norma dos seguintes vetores:
O gerador do subespaço é o conjunto: