Dados L=(0, x, y) / x, y in R e J=(0, z, z) / z in R subconjuntos de R^3, determine os subespaços L+J e L cap J.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos de vetores em : e . A tarefa é descobrir quais são os subespaços (a soma de e ) e (a interseção de e ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma e interseção de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois subespaços. A soma L + J = l + j mid l in L, j in J é o conjunto de todos os vetores que você consegue obter somando um vetor de com um vetor de . Ou seja:
Então, vamos pegar um vetor qualquer de e somar com um vetor qualquer de .

Passo 3

Um vetor geral de l + j = (0, x, y) + (0, z, z) = (0 + 0, x + z, y + z) = (0, x + z, y + z) tem a forma e um vetor geral de tem a forma , onde são números reais. Vamos somar esses dois vetores:
Então, todo vetor em tem a forma .

Passo 4

Agora, para entender melhor como fica o conjunto (0, a, b) , podemos reparametrizar as variáveis. Vamos chamar e . Assim, nosso vetor fica:
Mas e são apenas combinações lineares de números reais, então eles também pertencem a . Portanto, é na verdade todo o conjunto , pois qualquer vetor de pode ser obtido dessa soma.

Passo 5

Agora vamos para a interseção (0, x, y) = (0, z, z) . Isso significa encontrar todos os vetores que estão simultaneamente em e em . Um vetor em tem a forma e em tem a forma . Para que um vetor seja nos dois conjuntos, precisamos que:
O que implica que e . Ou seja, .

Passo 6

Então, os vetores que estão em L cap J = (0, z, z) mid z in R são aqueles onde, além da primeira coordenada ser 0, as segunda e terceira coordenadas são iguais. Isso significa que:
Isso mostra que é exatamente o conjunto , já que todo vetor de satisfaz essa condição.

Resposta

L + J = L = (0, x, y) mid x, y in R
L cap J = J = (0, z, z) mid z in R

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