Mostre que: se é um espaço vetorial e e são subespaços de , então vale que:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial e dois subespaços e dentro dele. O objetivo é mostrar que a união desses dois subespaços, , também é um subespaço de se e somente se um deles está completamente contido dentro do outro, ou seja, ou .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e como a união de conjuntos se comporta em relação a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os critérios para que um conjunto seja um subespaço vetorial. Um subconjunto de é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. É fechado sob adição: Se , então .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se e , então .
Vamos verificar se satisfaz esses critérios.

Passo 3

Primeiro, sempre contém o vetor zero, já que tanto quanto são subespaços e contêm o zero. Então, o primeiro critério está satisfeito.

Passo 4

Agora, vamos verificar a fechamento sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de , a soma deles também deve estar em .
Mas aqui é onde surge um problema. Se tivermos um vetor e outro vetor , a soma precisa estar em para que a união seja um subespaço. Isso só acontece se estiver totalmente dentro de ou totalmente dentro de . Isso só é garantido se um dos subespaços estiver completamente contido dentro do outro.

Passo 5

Para ilustrar, suponha que . Então, qualquer também está em , então estará em , já que é fechado sob adição. Assim, a soma de quaisquer dois vetores em estará em , que é um subespaço. O mesmo vale se .

Passo 6

Finalmente, verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Se e , então:
  • Se , como é um subespaço, .
  • Se , como é um subespaço, .
Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que é um subespaço de se e somente se ou .

Exercícios relacionados

Dados subconjuntos de , mostre que e são subespaços de .
Mostre que: e são subespaços de .
Dados subconjuntos de , determine os subespaços e .
Sendo , encontre as coordenadas e a norma dos seguintes vetores: