Mostre que: se
é um espaço vetorial e
e
são subespaços de
, então vale que:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial
e dois subespaços
e
dentro dele. O objetivo é mostrar que a união desses dois subespaços,
, também é um subespaço de
se e somente se um deles está completamente contido dentro do outro, ou seja,
ou
.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e como a união de conjuntos se comporta em relação a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os critérios para que um conjunto seja um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero:
. - É fechado sob adição: Se
, então . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
e , então .
Vamos verificar se
satisfaz esses critérios.
Passo 3
Primeiro,
sempre contém o vetor zero, já que tanto
quanto
são subespaços e contêm o zero. Então, o primeiro critério está satisfeito.
Passo 4
Agora, vamos verificar a fechamento sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Mas aqui é onde surge um problema. Se tivermos um vetor
e outro vetor
, a soma
precisa estar em
para que a união seja um subespaço. Isso só acontece se
estiver totalmente dentro de
ou totalmente dentro de
. Isso só é garantido se um dos subespaços estiver completamente contido dentro do outro.
Passo 5
Para ilustrar, suponha que
. Então, qualquer
também está em
, então
estará em
, já que
é fechado sob adição. Assim, a soma de quaisquer dois vetores em
estará em
, que é um subespaço. O mesmo vale se
.
Passo 6
Finalmente, verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Se
e
, então:
- Se
, como é um subespaço, . - Se
, como é um subespaço, .
Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que
é um subespaço de
se e somente se
ou
.
Exercícios relacionados
Dados
subconjuntos de
, mostre que
e
são subespaços de
.
Mostre que:
e
são subespaços de
.
Dados
subconjuntos de
, determine os subespaços
e
.
Sendo
, encontre as coordenadas e a norma dos seguintes vetores: