Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar se o conjunto gera o subespaço das matrizes definidas por certas condições. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de espaços vetoriais e gerações de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso) gera um subespaço. Um conjunto gera o subespaço se qualquer elemento de pode ser expresso como uma combinação linear dos elementos de . Ou seja, para toda matriz em , existem coeficientes reais que multiplicados pelas matrizes de resultam nessa matriz.
Passo 3
Agora, vamos analisar o subespaço dado:
Queremos ver se qualquer matriz dessa forma pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes em :
Passo 4
Vamos assumir que existe uma combinação linear desses três geradores que resulta em uma matriz qualquer de a 0 & 2 0 & 0 + b 1 & 0 0 & 1 + c 0 & 1 1 & 0 = -2x & z - y x + y & z . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Passo 5
Vamos realizar a combinação linear:
0 & 2a 0 & 0 + b & 0 0 & b + 0 & c c & 0 = b & 2a + c c & b
Comparando com a matriz de b & 2a + c c & b = -2x & z - y x + y & z :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema:
Da equação 1 e 4: 2a + (-z2 + y) = z - y 2a = z - y + z2 - y 2a = 3z2 - 2y a = 3z4 - y e => =>
Da equação 3:
Substituindo na equação 2:
Resposta
Sim, o conjunto gera o subespaço . Toda matriz em pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes em .