Encontre todos os para os quais

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é encontrar todos os números racionais (aqueles que podem ser escritos como fração , onde e são inteiros) para os quais o cosseno de vezes também seja um número racional. Para resolver isso, vamos usar alguns conhecimentos de trigonometria e propriedades dos números racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de um ângulo está relacionado com a unidade do círculo trigonométrico. A função cosseno retorna valores entre e , e queremos que esse valor seja um número racional. Sabemos que para certos ângulos específicos, como , , , , e , o cosseno resulta em números racionais ou irracionais.

Passo 3

Vamos assumir que , onde e são inteiros e . Então, temos:
Queremos que esse valor seja racional. Sabemos que a função cosseno de ângulos racionalmente relacionados a frequentemente resulta em valores irracionais, a menos que o ângulo seja múltiplo de , , ou outros ângulos que resultam em cossenos racionais conhecidos.

Passo 4

Vamos analisar alguns casos específicos:
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. :

Passo 5

Agora, precisamos verificar se existem outros valores racionais de que satisfazem a condição. No entanto, para valores de diferentes dos casos acima, o cosseno geralmente resulta em números irracionais devido à natureza transcendental da função cosseno para a maioria dos ângulos racionais múltiplos de .

Passo 6

Portanto, os únicos valores racionais de que fazem ser racional são:

Resposta

Os números racionais que satisfazem são:

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