Encontre todos os
para os quais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é encontrar todos os números racionais
(aqueles que podem ser escritos como fração
, onde
e
são inteiros) para os quais o cosseno de
vezes
também seja um número racional. Para resolver isso, vamos usar alguns conhecimentos de trigonometria e propriedades dos números racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de um ângulo está relacionado com a unidade do círculo trigonométrico. A função cosseno retorna valores entre
e
, e queremos que esse valor seja um número racional. Sabemos que para certos ângulos específicos, como
,
,
,
, e
, o cosseno resulta em números racionais ou irracionais.
Passo 3
Vamos assumir que
, onde
e
são inteiros e
. Então, temos:
Queremos que esse valor seja racional. Sabemos que a função cosseno de ângulos racionalmente relacionados a
frequentemente resulta em valores irracionais, a menos que o ângulo seja múltiplo de
,
, ou outros ângulos que resultam em cossenos racionais conhecidos.
Passo 4
Vamos analisar alguns casos específicos:
-
: -
: -
: -
: -
:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se existem outros valores racionais de
que satisfazem a condição. No entanto, para valores de
diferentes dos casos acima, o cosseno geralmente resulta em números irracionais devido à natureza transcendental da função cosseno para a maioria dos ângulos racionais múltiplos de
.
Passo 6
Portanto, os únicos valores racionais de
que fazem
ser racional são:
Resposta
Os números racionais
que satisfazem
são:
Exercícios relacionados
prove que
é irracional.
Dados
, com
, encontre o resto da divisão do polinômio
pelo polinômio
Encontre todos os polinômios não constantes
, de coeficientes reais e tais que
.
Para
, seja
. Prove que, para
temos