Dados os números complexos: z1=1+3i e z2=-2+i, calcule as operações indicadas abaixo:
a) z1+z2
b) z1 z2
f) z²1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre números complexos! A gente tem dois números complexos: $ z_1 = 1 + 3i $ e $ z_2 = -2 + i $. Vou te mostrar como somar, multiplicar e elevar ao quadrado esses números. Para isso, precisamos entender como operar com números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos somar $ z_1 $ e $ z_2 $. Quando somamos números complexos, a gente soma as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si.
Então, temos:
z1
Simplificando:
z2

Passo 3

Agora, vamos multiplicar $ z_1 $ por $ z_2 $. Para multiplicar dois números complexos, usamos a distributiva, assim como na multiplicação de binômios. Lembrando que $ i^2 = -1 $.
Então:
z1
Aplicando a distributiva:
z2
i^2 = -1
Substituindo $ i^2 $ por -1:
z1 times z2 = (1 + 3i) times (-2 + i)
Juntando as partes reais e imaginárias:
= 1 times (-2) + 1 times i + 3i times (-2) + 3i times i
= -2 + i - 6i + 3i^2

Passo 4

Por último, vamos elevar $ z_1 $ ao quadrado. Para isso, usamos a fórmula $ (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 $. Lembrando que $ i^2 = -1 $.
Então:
z1
Aplicando a fórmula:
(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2
i^2 = -1
Substituindo $ i^2 $ por -1:
z1^2 = (1 + 3i)^2
Juntando as partes reais e imaginárias:
= 1^2 + 2 times 1 times 3i + (3i)^2
= 1 + 6i + 9i^2

Resposta

a) $ z_1 + z_2 = -1 + 4i $
b) $ z_1 \times z_2 = -5 - 5i $
f) $ z_1^2 = -8 + 6i $

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