Dados os pontos A(-1,2,1), B(2,-1,4), C(-1,-3,3), D(1,0,0) pede-se: c) a interseção da reta lx=1-2 t y=-2+3 t com o plano x=-y+z z=3-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde a reta, definida pelas equações paramétricas , , , intercepta o plano dado pela equação . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre interseção entre retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a reta é descrita por um parâmetro , que nos dá as coordenadas , e para qualquer ponto na reta. O plano, por sua vez, é definido por uma relação entre , e .

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos encontrar o valor de x = -y + z que faz com que um ponto da reta também satisfaça a equação do plano. Ou seja, substituímos as expressões de 1 - 2t = -(-2 + 3t) + (3 - 2t) , e da reta na equação do plano:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar 1 - 2t = 2 - 3t + 3 - 2t :
1 - 2t = 5 - 5t
Simplificando:
-2t + 5t = 5 - 1
Agora, isolamos 3t = 4 :
t = 43

Passo 5

Com o valor de x = 1 - 2(43) = 1 - 83 = -53 encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
y = -2 + 3(43) = -2 + 4 = 2
z = 3 - 2(43) = 3 - 83 = 13

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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