Seja A in Mn(F) uma matriz cujas linhas são A1, ldots, An. Como em sala de aula denotamos A=(A1, ldots, An). Usando a linearidade em cada uma das linhas ( n-linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
b) Prove que det(A1, A1+A2, A1+A3, ldots, A1+An)=det(A1, A2, A3, ldots, An).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz com linhas . A gente precisa provar que o determinante da matriz formada por é igual ao determinante da matriz original . Para resolver isso, vamos usar duas propriedades importantes dos determinantes: a linearidade em cada linha (também chamada de -linearidade) e a propriedade de ser alternado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que o determinante é linear em cada linha. Isso quer dizer que, se a gente tem uma linha que é uma soma de vetores, o determinante pode ser escrito como a soma dos determinantes onde substituímos essa linha por cada um dos vetores individualmente.

Passo 3

Na nossa matriz, apenas a segunda até a última linha são combinações de det(A1, A1 + A2, A1 + A3, ldots, A1 + An) = det(A1, A1, A1 + A3, ldots, A1 + An) + det(A1, A2, A1 + A3, ldots, A1 + An) com outras linhas. Vamos focar na segunda linha, que é . De acordo com a linearidade, o determinante da matriz original com na segunda linha pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos olhar para o primeiro determinante do lado direito: det(A1, A1, A1 + A3, ldots, A1 + An) = 0 . Note que as duas primeiras linhas são iguais ( e ). Quando uma matriz tem duas linhas iguais, o determinante dela é zero. Então, esse termo desaparece:

Passo 5

Isso simplifica nossa expressão para:
det(A1, A1 + A2, A1 + A3, ldots, A1 + An) = det(A1, A2, A1 + A3, ldots, A1 + An)

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para a terceira linha det(A1, A2, A1 + A3, ldots, A1 + An) = det(A1, A2, A1, ldots, A1 + An) + det(A1, A2, A3, ldots, A1 + An) . Aplicando a linearidade novamente:

Passo 7

Mais uma vez, o primeiro determinante do lado direito tem duas linhas iguais ( det(A1, A2, A1, ldots, A1 + An) = 0 nas primeiras e terceira linhas), então ele também é zero:

Passo 8

Dessa forma, nossa expressão fica:
det(A1, A2, A1 + A3, ldots, A1 + An) = det(A1, A2, A3, ldots, A1 + An)

Passo 9

Repetindo esse processo para todas as combinações até a última linha, sempre que substituímos uma por , o determinante correspondente será zero, deixando apenas o determinante da matriz original .

Resposta

Portanto, concluímos que:

Exercícios relacionados