Seja uma matriz cujas linhas são . Como em sala de aula denotamos . Usando a linearidade em cada uma das linhas ( -linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
b) Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz com linhas . A gente precisa provar que o determinante da matriz formada por é igual ao determinante da matriz original . Para resolver isso, vamos usar duas propriedades importantes dos determinantes: a linearidade em cada linha (também chamada de -linearidade) e a propriedade de ser alternado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que o determinante é linear em cada linha. Isso quer dizer que, se a gente tem uma linha que é uma soma de vetores, o determinante pode ser escrito como a soma dos determinantes onde substituímos essa linha por cada um dos vetores individualmente.

Passo 3

Na nossa matriz, apenas a segunda até a última linha são combinações de com outras linhas. Vamos focar na segunda linha, que é . De acordo com a linearidade, o determinante da matriz original com na segunda linha pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos olhar para o primeiro determinante do lado direito: . Note que as duas primeiras linhas são iguais ( e ). Quando uma matriz tem duas linhas iguais, o determinante dela é zero. Então, esse termo desaparece:

Passo 5

Isso simplifica nossa expressão para:

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para a terceira linha . Aplicando a linearidade novamente:

Passo 7

Mais uma vez, o primeiro determinante do lado direito tem duas linhas iguais ( nas primeiras e terceira linhas), então ele também é zero:

Passo 8

Dessa forma, nossa expressão fica:

Passo 9

Repetindo esse processo para todas as combinações até a última linha, sempre que substituímos uma por , o determinante correspondente será zero, deixando apenas o determinante da matriz original .

Resposta

Portanto, concluímos que:

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Seja uma matriz cujas linhas são . Como em sala de aula denotamos . Usando a linearidade em cada uma das linhas ( -linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
a) Prove que se , então .
Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
a) Para a transformação linear dada por e , escreva a matriz de na base canônica e calcule o determinante de .
Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
d) Seja um espaço vetorial sobre finitamente gerado. Seja uma transformação linear tal que . Quais são os possíveis valores de ?
Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
e) Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas por . Seja e a transformação linear dada por . Mostre que .