Seja
uma matriz cujas linhas são
. Como em sala de aula denotamos
. Usando a linearidade em cada uma das linhas (
-linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
b) Prove que
.
b) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz
com linhas
. A gente precisa provar que o determinante da matriz formada por
é igual ao determinante da matriz original
. Para resolver isso, vamos usar duas propriedades importantes dos determinantes: a linearidade em cada linha (também chamada de
-linearidade) e a propriedade de ser alternado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que o determinante é linear em cada linha. Isso quer dizer que, se a gente tem uma linha que é uma soma de vetores, o determinante pode ser escrito como a soma dos determinantes onde substituímos essa linha por cada um dos vetores individualmente.
Passo 3
Na nossa matriz, apenas a segunda até a última linha são combinações de
com outras linhas. Vamos focar na segunda linha, que é
. De acordo com a linearidade, o determinante da matriz original com
na segunda linha pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, vamos olhar para o primeiro determinante do lado direito:
. Note que as duas primeiras linhas são iguais (
e
). Quando uma matriz tem duas linhas iguais, o determinante dela é zero. Então, esse termo desaparece:
Passo 5
Isso simplifica nossa expressão para:
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para a terceira linha
. Aplicando a linearidade novamente:
Passo 7
Mais uma vez, o primeiro determinante do lado direito tem duas linhas iguais (
nas primeiras e terceira linhas), então ele também é zero:
Passo 8
Dessa forma, nossa expressão fica:
Passo 9
Repetindo esse processo para todas as combinações até a última linha, sempre que substituímos uma
por
, o determinante correspondente será zero, deixando apenas o determinante da matriz original
.
Resposta
Portanto, concluímos que:
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Seja
uma matriz cujas linhas são
. Como em sala de aula denotamos
. Usando a linearidade em cada uma das linhas (
-linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
a) Prove que se , então
.
a) Prove que se
Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
a) Para a transformação linear dada por
e
, escreva a matriz de
na base canônica e calcule o determinante de
.
a) Para a transformação linear
Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
d) Seja um espaço vetorial sobre
finitamente gerado. Seja
uma transformação linear tal que
. Quais são os possíveis valores de
?
d) Seja
Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
e) Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas
por
. Seja
e
a transformação linear dada por
. Mostre que
.
e) Seja