Seja uma matriz cujas linhas são . Como em sala de aula denotamos . Usando a linearidade em cada uma das linhas ( -linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
a) Prove que se , então .
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de ordem , com linhas . A questão quer que a gente prove uma propriedade do determinante relacionada a multiplicar cada linha por um escalar . Pra resolver isso, vamos precisar entender duas coisas importantes sobre determinantes: a linearidade em cada linha (ou seja, como o determinante se comporta quando a gente faz operações lineares nas linhas) e a propriedade de alternância (que diz como o determinante muda se a gente troca linhas ou as torna proporcionais).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a linearidade no determinante. Isso significa que se a gente tem um determinante com uma linha que é uma combinação linear de vetores, a gente pode distribuir essa combinação de forma que o determinante seja uma soma dos determinantes individuais. No nosso caso, cada linha é um escalar multiplicando o vetor .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a linearidade em cada uma das linhas. Quando a gente multiplica uma linha inteira por um escalar , o determinante também é multiplicado por esse escalar. E como temos linhas sendo multiplicadas por , o determinante total será multiplicado por todos esses escalares juntos.
Passo 4
Então, juntando tudo isso, temos que:
Isso porque cada multiplicação por em uma linha foi puxada para fora do determinante, e o original ficou multiplicado por todos esses escalares.