Seja A in Mn(F) uma matriz cujas linhas são A1, ldots, An. Como em sala de aula denotamos A=(A1, ldots, An). Usando a linearidade em cada uma das linhas ( n-linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
a) Prove que se lambda1, ldots, lambdan in F, então det(lambda1 A1, ldots, lambdan An)=lambda1 ldots lambdan det(A1, ldots, An).

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de ordem , com linhas . A questão quer que a gente prove uma propriedade do determinante relacionada a multiplicar cada linha por um escalar . Pra resolver isso, vamos precisar entender duas coisas importantes sobre determinantes: a linearidade em cada linha (ou seja, como o determinante se comporta quando a gente faz operações lineares nas linhas) e a propriedade de alternância (que diz como o determinante muda se a gente troca linhas ou as torna proporcionais).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a linearidade no determinante. Isso significa que se a gente tem um determinante com uma linha que é uma combinação linear de vetores, a gente pode distribuir essa combinação de forma que o determinante seja uma soma dos determinantes individuais. No nosso caso, cada linha é um escalar multiplicando o vetor .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a linearidade em cada uma das linhas. Quando a gente multiplica uma linha inteira por um escalar , o determinante também é multiplicado por esse escalar. E como temos linhas sendo multiplicadas por , o determinante total será multiplicado por todos esses escalares juntos.

Passo 4

Então, juntando tudo isso, temos que:
det(lambda1 A1, lambda2 A2, ldots, lambdan An) = lambda1 cdot lambda2 cdot ldots cdot lambdan cdot det(A1, A2, ldots, An)
Isso porque cada multiplicação por em uma linha foi puxada para fora do determinante, e o original ficou multiplicado por todos esses escalares.

Resposta

Portanto, provamos que:
det(lambda1 A1, ldots, lambdan An) = lambda1 ldots lambdan det(A1, ldots, An)

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