Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
a) Para a transformação linear
dada por
e
, escreva a matriz de
na base canônica e calcule o determinante de
.
a) Para a transformação linear
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um problema de Álgebra Linear. O exercício pede para encontrarmos a matriz de uma transformação linear
e calcular o determinante dessa matriz. A transformação
atua no espaço dos polinômios de grau no máximo 1,
. Precisamos usar a base canônica desse espaço e seguir passo a passo para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a base canônica de
é formada pelos polinômios
e
. Isso significa que qualquer polinômio nessa base pode ser escrito como
, onde
e
são coeficientes reais.
Passo 3
Agora, vamos ver como a transformação
age sobre cada elemento da base. Segundo o enunciado:
Precisamos expressar esses resultados em termos da base canônica
. Isso ajuda a construir a matriz da transformação.
Passo 4
Expressando
e
na base canônica:
Isso nos dá os coeficientes que vão formar as colunas da matriz de
.
Passo 5
Com os coeficientes identificados, podemos montar a matriz de
. Cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor base pela transformação
.
Então, a matriz de
na base canônica é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz
da forma:
O determinante é dado por
.
No nosso caso:
Então:
Resposta
O determinante de
é igual a
.