Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
a) Para a transformação linear dada por e , escreva a matriz de na base canônica e calcule o determinante de .
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um problema de Álgebra Linear. O exercício pede para encontrarmos a matriz de uma transformação linear e calcular o determinante dessa matriz. A transformação atua no espaço dos polinômios de grau no máximo 1, . Precisamos usar a base canônica desse espaço e seguir passo a passo para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a base canônica de é formada pelos polinômios e . Isso significa que qualquer polinômio nessa base pode ser escrito como , onde e são coeficientes reais.
Passo 3
Agora, vamos ver como a transformação age sobre cada elemento da base. Segundo o enunciado:
Precisamos expressar esses resultados em termos da base canônica . Isso ajuda a construir a matriz da transformação.
Passo 4
Expressando e na base canônica:
Isso nos dá os coeficientes que vão formar as colunas da matriz de .
Passo 5
Com os coeficientes identificados, podemos montar a matriz de . Cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor base pela transformação .
Então, a matriz de na base canônica é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz da forma: