Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
a) Para a transformação linear dada por e , escreva a matriz de na base canônica e calcule o determinante de .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um problema de Álgebra Linear. O exercício pede para encontrarmos a matriz de uma transformação linear e calcular o determinante dessa matriz. A transformação atua no espaço dos polinômios de grau no máximo 1, . Precisamos usar a base canônica desse espaço e seguir passo a passo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a base canônica de é formada pelos polinômios e . Isso significa que qualquer polinômio nessa base pode ser escrito como , onde e são coeficientes reais.

Passo 3

Agora, vamos ver como a transformação age sobre cada elemento da base. Segundo o enunciado:
Precisamos expressar esses resultados em termos da base canônica . Isso ajuda a construir a matriz da transformação.

Passo 4

Expressando e na base canônica:
Isso nos dá os coeficientes que vão formar as colunas da matriz de .

Passo 5

Com os coeficientes identificados, podemos montar a matriz de . Cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor base pela transformação .
Então, a matriz de na base canônica é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz da forma:
O determinante é dado por .
No nosso caso:
Então:

Resposta

O determinante de é igual a .

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Questão (9 pts) Considere o sistema linear
(a) Encontre sua solução geral pelo método de escalonamento.
Prove que se então ou .
Seja uma matriz cujas linhas são . Como em sala de aula denotamos . Usando a linearidade em cada uma das linhas ( -linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
a) Prove que se , então .
Seja uma matriz cujas linhas são . Como em sala de aula denotamos . Usando a linearidade em cada uma das linhas ( -linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
b) Prove que .