Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
a) Para a transformação linear F: P1(R) P1(R) dada por F(1)=2+t e F(t)=3+3 t, escreva a matriz de F na base canônica e calcule o determinante de F.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um problema de Álgebra Linear. O exercício pede para encontrarmos a matriz de uma transformação linear e calcular o determinante dessa matriz. A transformação atua no espaço dos polinômios de grau no máximo 1, . Precisamos usar a base canônica desse espaço e seguir passo a passo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a base canônica de é formada pelos polinômios e . Isso significa que qualquer polinômio nessa base pode ser escrito como , onde e são coeficientes reais.

Passo 3

Agora, vamos ver como a transformação age sobre cada elemento da base. Segundo o enunciado:
Precisamos expressar esses resultados em termos da base canônica . Isso ajuda a construir a matriz da transformação.

Passo 4

Expressando e na base canônica:
Isso nos dá os coeficientes que vão formar as colunas da matriz de .

Passo 5

Com os coeficientes identificados, podemos montar a matriz de 2 & 3 1 & 3 . Cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor base pela transformação .
Então, a matriz de na base canônica é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz a & b c & d da forma:
a = 2, b = 3, c = 1, d = 3
O determinante é dado por det(F) = (2)(3) - (3)(1) = 6 - 3 = 3 .
No nosso caso:
Então:

Resposta

O determinante de é igual a .

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