Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear
, definido por
, é um isomorfismo. Se for, também precisamos encontrar uma fórmula para
, que é a função inversa de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e funções inversas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Em geral, um operador linear de
para
pode ser representado por uma matriz
tal que
. No nosso caso:
Passo 3
Agora, para verificar se
é um isomorfismo, precisamos verificar se
é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero (
), isso significa que
é invertível, e, portanto,
é um isomorfismo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é um isomorfismo, vamos encontrar a matriz inversa
. A fórmula para a inversa de uma matriz
é:
Onde
.
Aplicando isso à nossa matriz
:
Passo 5
Agora, para encontrar a função inversa
, usamos a matriz
. Se
, então:
Seja
, então:
Simplificando:
Resposta
O operador linear
é um isomorfismo, e a fórmula para a função inversa
é: