Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T^-1. T: R^2 R^2, T(x, y)=(x-2 y,-2 x+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear , definido por , é um isomorfismo. Se for, também precisamos encontrar uma fórmula para , que é a função inversa de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e funções inversas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 1 & -2 -2 & 0 como uma matriz. Em geral, um operador linear de para pode ser representado por uma matriz tal que . No nosso caso:

Passo 3

Agora, para verificar se det(A) = (1)(0) - (-2)(-2) = 0 - 4 = -4 é um isomorfismo, precisamos verificar se é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que é invertível, e, portanto, é um isomorfismo.

Passo 4

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a é um isomorfismo, vamos encontrar a matriz inversa a & b c & d . A fórmula para a inversa de uma matriz A^-1 = 1-4 0 & 2 2 & 1 = 0 & -12 -12 & -14 é:
Onde .
Aplicando isso à nossa matriz :

Passo 5

Agora, para encontrar a função inversa x = T^-1(y) = A^-1y , usamos a matriz T^-1(u, v) = 0 & -12 -12 & -14 u v = ( 0 cdot u + (-12) v, (-12) u + (-14) v ) . Se T^-1(u, v) = ( -12 v, -12 u - 14 v ) , então:
Seja , então:
Simplificando:

Resposta

O operador linear T^-1(u, v) = ( -12 v, -12 u - 14 v ) é um isomorfismo, e a fórmula para a função inversa é:

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