Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear , definido por , é um isomorfismo. Se for, também precisamos encontrar uma fórmula para , que é a função inversa de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e funções inversas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Em geral, um operador linear de para pode ser representado por uma matriz tal que . No nosso caso:

Passo 3

Agora, para verificar se é um isomorfismo, precisamos verificar se é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que é invertível, e, portanto, é um isomorfismo.

Passo 4

Agora que sabemos que é um isomorfismo, vamos encontrar a matriz inversa . A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Onde .
Aplicando isso à nossa matriz :

Passo 5

Agora, para encontrar a função inversa , usamos a matriz . Se , então:
Seja , então:
Simplificando:

Resposta

O operador linear é um isomorfismo, e a fórmula para a função inversa é:

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Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Nāo หอ
Seja o operador linear definido por . a) Determinar uma base do em relação à qual a matriz do operador é diagonalizável.
Seja um subconjunto não vazio de um anel . Seja a interseção e todos os ideais em que contém (existe ao menos um ideal que contém , a saber, o próprio é um ideal que contém ). Prove que é um ideal. é chamado ideal gerado pelo conjunto .