Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear
, definido por
, é um isomorfismo. Se for, também precisamos encontrar uma fórmula para
, que é a função inversa de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e funções inversas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Em geral, um operador linear de
para
pode ser representado por uma matriz
tal que
. No nosso caso:
Passo 3
Agora, para verificar se
é um isomorfismo, precisamos verificar se
é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero (
), isso significa que
é invertível, e, portanto,
é um isomorfismo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é um isomorfismo, vamos encontrar a matriz inversa
. A fórmula para a inversa de uma matriz
é:
Onde
.
Aplicando isso à nossa matriz
:
Passo 5
Agora, para encontrar a função inversa
, usamos a matriz
. Se
, então:
Seja
, então:
Simplificando:
Resposta
O operador linear
é um isomorfismo, e a fórmula para a função inversa
é:
Exercícios relacionados
Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
Defina
. A inversa de
pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Nāo หอ
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Nāo หอ
Seja
o operador linear definido por
. a) Determinar uma base do
em relação à qual a matriz do operador
é diagonalizável.
Seja
um subconjunto não vazio de um anel
. Seja
a interseção e todos os ideais em
que contém
(existe ao menos um ideal que contém
, a saber, o próprio
é um ideal que contém
). Prove que
é um ideal.
é chamado ideal gerado pelo conjunto
.