Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares. T: R^2 R^3, T(x, y)=(3 y,-2 x, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a transformação , definida por , é linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa transformação .

Passo 3

Verificando a Adição:
Sejam T(x1 + x2, y1 + y2) = (3(y1 + y2), -2(x1 + x2), 0) e = (3y1 + 3y2, -2x1 - 2x2, 0) .
Calculamos T(x1, y1) + T(x2, y2) = (3y1, -2x1, 0) + (3y2, -2x2, 0) :
= (3y1 + 3y2, -2x1 - 2x2, 0)
Agora, calculamos :
Vemos que , então a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja T(cx, cy) = (3(cy), -2(cx), 0) um escalar e = (c cdot 3y, c cdot (-2x), 0) .
Calculamos = c(3y, -2x, 0) :
c cdot T(x, y) = c(3y, -2x, 0) = (c cdot 3y, c cdot (-2x), 0)
E :
Novamente, , então a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades (adição e homogeneidade) são cumpridas, a transformação é linear.

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