Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a transformação
, definida por
, é linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação
é linear se satisfaz duas propriedades:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa transformação
.
Passo 3
Verificando a Adição:
Sejam
e
.
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Vemos que
, então a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Seja
um escalar e
.
Calculamos
:
E
:
Novamente,
, então a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades (adição e homogeneidade) são cumpridas, a transformação
é linear.