3) Dados e um vetor unitário com: u ortogonal a , o ângulo entre ( é e o ângulo entre ( é , calcule .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois vetores, e , com magnitudes 4 e 3 respectivamente. Além disso, sabemos que é ortogonal a , ou seja, eles formam um ângulo de 90 graus entre si. Também temos um vetor que é unitário (magnitude 1) e forma ângulos de com e com . Nosso objetivo é calcular . Para isso, vamos precisar usar propriedades de vetores, produto escalar e a fórmula para o módulo de uma combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o quadrado do módulo de um vetor é dado por , onde representa o produto escalar. Assim, podemos expandir usando essa propriedade:
Passo 3
Vamos expandir o produto escalar:
Passo 4
Sabemos que é ortogonal a , ou seja, . Além disso, é unitário, então e . Substituindo essas informações na expressão:
Passo 5
Agora, precisamos calcular e . Lembrando que o produto escalar também pode ser expresso como:
onde é o ângulo entre os vetores.
Passo 6
Calculando :
Passo 7
Calculando :
Passo 8
Substituindo esses valores de volta na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Quais das matrizes abaixo são escalonadas reduzidas? (c)