1. Dados |u|=4,|v|=3 e w um vetor unitário com: u ortogonal a v, o ângulo entre ( u, w) é pi3 e o ângulo entre ( v, w) é 2 pi3, calcule |u-v+w|^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores, e , com magnitudes 4 e 3 respectivamente. Além disso, sabemos que é ortogonal a , ou seja, eles formam um ângulo de 90 graus entre si. Também temos um vetor que é unitário (magnitude 1) e forma ângulos de com e com . Nosso objetivo é calcular . Para isso, vamos precisar usar propriedades de vetores, produto escalar e a fórmula para o módulo de uma combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o quadrado do módulo de um vetor |u - v + w|^2 = (u - v + w) cdot (u - v + w) é dado por , onde representa o produto escalar. Assim, podemos expandir usando essa propriedade:

Passo 3

Vamos expandir o produto escalar:
(u - v + w) cdot (u - v + w) = u cdot u - u cdot v + u cdot w - v cdot u + v cdot v - v cdot w + w cdot u - w cdot v + w cdot w

Passo 4

Sabemos que |u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2(u cdot w) - 2(v cdot w) é ortogonal a = 4^2 + 3^2 + 1^2 + 2(u cdot w) - 2(v cdot w) , ou seja, = 16 + 9 + 1 + 2(u cdot w) - 2(v cdot w) . Além disso, = 26 + 2(u cdot w) - 2(v cdot w) é unitário, então e . Substituindo essas informações na expressão:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a cdot b = |a| |b| cos(theta) e . Lembrando que o produto escalar também pode ser expresso como:
onde é o ângulo entre os vetores.

Passo 6

Calculando u cdot w = |u| |w| cos(pi3) = 4 times 1 times 12 = 2 :

Passo 7

Calculando v cdot w = |v| |w| cos(2pi3) = 3 times 1 times (-12) = -32 :

Passo 8

Substituindo esses valores de volta na expressão:
|u - v + w|^2 = 26 + 2(2) - 2(-32)
= 26 + 4 + 3 = 33

Resposta

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