Sejam A, B e C matrizes quadradas n times n e k um escalar qualquer. Defina [A, B]= A B-B A (colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:
(i) [A+B, C]=[A, C]+[B, C];
(ii) [A, B]=-[B, A];
(iii) [k A, B]=[A, k B]=k[A, B];
(iv) [A,[B, C]]+[C,[A, B]]+[B,[C, A]]=0 (identidade de Jacobi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o comutador de Lie de matrizes. A matéria envolve álgebra linear, mais especificamente operações com matrizes quadradas. Precisamos entender como funciona o comutador definido por [A, B] = AB - BA e aplicar as propriedades das matrizes para provar cada uma das afirmações dadas.

Passo 2

Propriedade (i): [A+B, C] = [A, C] + [B, C]

Vamos começar expandindo o lado esquerdo da igualdade usando a definição do comutador:
[A+B, C] = (A + B)C - C(A + B)
Agora, distribuímos as multiplicações:
= AC + BC - CA - CB
Podemos reorganizar os termos:
= (AC - CA) + (BC - CB)
Observamos que isso é exatamente a soma dos comutadores individuais:
= [A, C] + [B, C]
Assim, provamos que [A+B, C] = [A, C] + [B, C].

Passo 3

Propriedade (ii): [A, B] = -[B, A]

Vamos usar a definição do comutador:
[A, B] = AB - BA
Agora, vamos calcular [B, A]:
[B, A] = BA - AB
Perceba que:
[A, B] = AB - BA = - (BA - AB) = -[B, A]
Portanto, [A, B] = -[B, A].

Passo 4

Propriedade (iii): [kA, B] = [A, kB] = k[A, B]

Primeiro, vamos calcular [kA, B]:
[kA, B] = (kA)B - B(kA) = k(AB) - k(BA) = k(AB - BA) = k[A, B]
Agora, vamos calcular [A, kB]:
[A, kB] = A(kB) - (kB)A = k(AB) - k(BA) = k(AB - BA) = k[A, B]
Assim, mostramos que [kA, B] = [A, kB] = k[A, B].

Passo 5

Propriedade (iv): [A,[B, C]] + [C,[A, B]] + [B,[C, A]] = 0 (Identidade de Jacobi)

Vamos chamar cada termo para facilitar:
J = [A,[B, C]] + [C,[A, B]] + [B,[C, A]]
Primeiro, calculamos cada comutador interno:
  1. [A, [B, C]] = A(BC - CB) - (BC - CB)A = ABC - ACB - BCA + CBA
  2. [C, [A, B]] = C(AB - BA) - (AB - BA)C = CAB - CBA - ABC + BAC
  3. [B, [C, A]] = B(CA - AC) - (CA - AC)B = BCA - BAC - CAB + ACB
Agora, somamos todos os termos:
J = (ABC - ACB - BCA + CBA) + (CAB - CBA - ABC + BAC) + (BCA - BAC - CAB + ACB)
Vamos organizar e cancelar os termos:
ABC - ACB - BCA + CBA + CAB - CBA - ABC + BAC + BCA - BAC - CAB + ACB = 0
Todos os termos se cancelam, resultando em:
J = 0
Portanto, a identidade de Jacobi está comprovada.

Resposta

Com isso, demostramos todas as propriedades do comutador de Lie para matrizes quadradas, incluindo a identidade de Jacobi que confirma uma estrutura algébrica importante.

Exercícios relacionados