Sejam e matrizes quadradas e um escalar qualquer. Defina (colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) (identidade de Jacobi)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o comutador de Lie de matrizes. A matéria envolve álgebra linear, mais especificamente operações com matrizes quadradas. Precisamos entender como funciona o comutador definido por e aplicar as propriedades das matrizes para provar cada uma das afirmações dadas.
Passo 2
Propriedade (i):
Vamos começar expandindo o lado esquerdo da igualdade usando a definição do comutador:
Agora, distribuímos as multiplicações:
Podemos reorganizar os termos:
Observamos que isso é exatamente a soma dos comutadores individuais:
Assim, provamos que .
Passo 3
Propriedade (ii):
Vamos usar a definição do comutador:
Agora, vamos calcular :
Perceba que:
Portanto, .
Passo 4
Propriedade (iii):
Primeiro, vamos calcular :
Agora, vamos calcular :
Assim, mostramos que .
Passo 5
Propriedade (iv): (Identidade de Jacobi)
Vamos chamar cada termo para facilitar:
Primeiro, calculamos cada comutador interno:
Agora, somamos todos os termos:
Vamos organizar e cancelar os termos:
Todos os termos se cancelam, resultando em:
Portanto, a identidade de Jacobi está comprovada.
Resposta
Com isso, demostramos todas as propriedades do comutador de Lie para matrizes quadradas, incluindo a identidade de Jacobi que confirma uma estrutura algébrica importante.