Sejam e matrizes quadradas e um escalar qualquer. Defina (colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) (identidade de Jacobi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o comutador de Lie de matrizes. A matéria envolve álgebra linear, mais especificamente operações com matrizes quadradas. Precisamos entender como funciona o comutador definido por e aplicar as propriedades das matrizes para provar cada uma das afirmações dadas.

Passo 2

Propriedade (i):

Vamos começar expandindo o lado esquerdo da igualdade usando a definição do comutador:
Agora, distribuímos as multiplicações:
Podemos reorganizar os termos:
Observamos que isso é exatamente a soma dos comutadores individuais:
Assim, provamos que .

Passo 3

Propriedade (ii):

Vamos usar a definição do comutador:
Agora, vamos calcular :
Perceba que:
Portanto, .

Passo 4

Propriedade (iii):

Primeiro, vamos calcular :
Agora, vamos calcular :
Assim, mostramos que .

Passo 5

Propriedade (iv): (Identidade de Jacobi)

Vamos chamar cada termo para facilitar:
Primeiro, calculamos cada comutador interno:
Agora, somamos todos os termos:
Vamos organizar e cancelar os termos:
Todos os termos se cancelam, resultando em:
Portanto, a identidade de Jacobi está comprovada.

Resposta

Com isso, demostramos todas as propriedades do comutador de Lie para matrizes quadradas, incluindo a identidade de Jacobi que confirma uma estrutura algébrica importante.

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