Quais das matrizes abaixo são escalonadas reduzidas? ©

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta quais das matrizes apresentadas são escalonadas reduzidas. A gente vai focar na matriz ©:
Para resolver isso, precisamos entender o que é uma matriz escalonada reduzida. Vamos precisar conhecer os critérios que definem essa forma especial de matriz.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz escalonada reduzida? É uma matriz que segue algumas regras específicas que facilitam resolver sistemas de equações lineares. As condições principais são:
  1. Pivôs iguais a 1: O primeiro número diferente de zero em cada linha (chamado de pivô) deve ser 1.
  2. Zerando os demais elementos na coluna do pivô: Em cada coluna que contém um pivô, todos os outros números devem ser zero.
  3. Ordem dos pivôs: Cada pivô deve estar à direita do pivô da linha acima.
  4. Linhas de zero na parte de baixo: Todas as linhas que são totalmente zero ficam na parte inferior da matriz.
Vamos verificar se a matriz © atende a esses critérios.

Passo 3

Primeiro critério: Cada pivô é 1?
  • Linha 1: O primeiro número é 1. Bom!
  • Linha 2: O primeiro número não-zero é 1. Perfeito!
  • Linhas 3 e 4: São todas zeros. Não tem pivô, mas isso está ok.
Então, o primeiro critério está atendido.

Passo 4

Segundo critério: Todos os outros elementos nas colunas dos pivôs são zero?
  • Coluna 1 (Pivô na linha 1): Temos 1 na linha 1 e zeros nas outras linhas. Beleza!
  • Coluna 2 (Pivô na linha 2): Temos 1 na linha 2 e zeros nas outras linhas.
Mas olha só na Coluna 3, existem valores 1 e 4 nas linhas 1 e 2. Isso não deveria acontecer, porque nessas colunas não tem pivôs, mas ainda assim os outros elementos precisam ser zero. Neste caso, como as colunas 3 e 4 não têm pivôs, os números ali não interferem nos critérios, desde que os pivôs estejam corretos.
Conclusão: O segundo critério também está atendido.

Passo 5

Terceiro critério: Os pivôs estão em ordem correta?
  • O pivô da linha 1 está na coluna 1.
  • O pivô da linha 2 está na coluna 2.
Como 2 > 1, está tudo certo, pois cada pivô está à direita do anterior.
Quarto critério: Linhas de zero na parte inferior.
  • As linhas 3 e 4 são todas zeros e estão na parte de baixo da matriz.
Tudo conforme!

Resposta

Sim, a matriz © é uma matriz escalonada reduzida.

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(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
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