Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores
e
. Isso envolve conceitos de produtos vetoriais e normalização de vetores. Basicamente, vamos usar o produto vetorial para achar um vetor que seja perpendicular aos dois dados e depois ajustar esse vetor para que tenha comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Quando a gente faz o produto vetorial entre dois vetores no espaço, o resultado é um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A fórmula para o produto vetorial de
e
é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula aos vetores dados. Primeiro, identifiquemos cada componente:
-
, então , , . -
, então , , .
Agora, calculemos cada componente do produto vetorial:
Então, o produto vetorial é:
Passo 4
Agora que temos um vetor que é ortogonal aos dois vetores dados, precisamos transformá-lo em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar o vetor. A normalização é o processo de dividir cada componente do vetor pelo seu módulo (comprimento).
O módulo de um vetor
é calculado assim:
Vamos calcular o módulo de
:
Passo 5
Agora, para normalizar o vetor
, vamos dividir cada componente pelo seu módulo
:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
, mas não é obrigatório a menos que seja solicitado.
Resposta
Um vetor unitário ortogonal aos vetores
e
é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
matrizes quadradas
e
um escalar qualquer. Defina
(colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) (identidade de Jacobi)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
- Dados
e um vetor unitário com: u ortogonal a , o ângulo entre ( é e o ângulo entre ( é , calcule .
Ex. 3.2 - Se
e
, encontre um vetor nāo nulo
tal que
.
Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F): (d)
é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada reduzida.