Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores baru=(3,1,-1) e v=(-1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores baru = (3,1,-1) e v = (-1,1,1). Isso envolve conceitos de produtos vetoriais e normalização de vetores. Basicamente, vamos usar o produto vetorial para achar um vetor que seja perpendicular aos dois dados e depois ajustar esse vetor para que tenha comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Quando a gente faz o produto vetorial entre dois vetores no espaço, o resultado é um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A fórmula para o produto vetorial de baru = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
baru times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos vetores dados. Primeiro, identifiquemos cada componente:
  • baru = (3, 1, -1), então u1 = 3, u2 = 1, u3 = -1.
  • v = (-1, 1, 1), então v1 = -1, v2 = 1, v3 = 1.
Agora, calculemos cada componente do produto vetorial:
x &= u2 v3 - u3 v2 = 1 times 1 - (-1) times 1 = 1 + 1 = 2 y &= u3 v1 - u1 v3 = (-1) times (-1) - 3 times 1 = 1 - 3 = -2 z &= u1 v2 - u2 v1 = 3 times 1 - 1 times (-1) = 3 + 1 = 4
Então, o produto vetorial é:
baru times v = (2, -2, 4)

Passo 4

Agora que temos um vetor que é ortogonal aos dois vetores dados, precisamos transformá-lo em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar o vetor. A normalização é o processo de dividir cada componente do vetor pelo seu módulo (comprimento).
O módulo de um vetor w = (wx, wy, wz) é calculado assim:
|w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2
Vamos calcular o módulo de baru times v = (2, -2, 4):
|baru times v| = raiz2^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz4 + 4 + 16 = raiz24 = 2raiz6

Passo 5

Agora, para normalizar o vetor (2, -2, 4), vamos dividir cada componente pelo seu módulo 2raiz6:
Vetor unitário = ( 22raiz6, -22raiz6, 42raiz6 ) = ( 1raiz6, -1raiz6, 2raiz6 ) á
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz6, mas não é obrigatório a menos que seja solicitado.

Resposta

Um vetor unitário ortogonal aos vetores baru=(3,1,-1) e v=(-1,1,1) é:
( 1raiz6, -1raiz6, 2raiz6 )

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