Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e . Isso envolve conceitos de produtos vetoriais e normalização de vetores. Basicamente, vamos usar o produto vetorial para achar um vetor que seja perpendicular aos dois dados e depois ajustar esse vetor para que tenha comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Quando a gente faz o produto vetorial entre dois vetores no espaço, o resultado é um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A fórmula para o produto vetorial de e é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos vetores dados. Primeiro, identifiquemos cada componente:
  • , então , , .
  • , então , , .
Agora, calculemos cada componente do produto vetorial:
Então, o produto vetorial é:

Passo 4

Agora que temos um vetor que é ortogonal aos dois vetores dados, precisamos transformá-lo em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar o vetor. A normalização é o processo de dividir cada componente do vetor pelo seu módulo (comprimento).
O módulo de um vetor é calculado assim:
Vamos calcular o módulo de :

Passo 5

Agora, para normalizar o vetor , vamos dividir cada componente pelo seu módulo :
á
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por , mas não é obrigatório a menos que seja solicitado.

Resposta

Um vetor unitário ortogonal aos vetores e é:

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Sejam e matrizes quadradas e um escalar qualquer. Defina (colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) (identidade de Jacobi)
  1. Dados e um vetor unitário com: u ortogonal a , o ângulo entre ( é e o ângulo entre ( é , calcule .
Ex. 3.2 - Se e , encontre um vetor nāo nulo tal que .
Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F): (d) é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada reduzida.