Dados Q in R^3 e w in R^3-0, demonstre que R=Q+t w ; t in R se e somente se Q in R e existe lambda in R^* verificando 1=lambda v.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas retas no espaço tridimensional R^3:
A reta R é definida por todos os pontos que podem ser obtidos a partir de um ponto fixo P e adicionando múltiplos do vetor v. Ou seja, R = P + t v ; t in R .
A outra reta é definida de forma similar, mas com um ponto fixo Q e um vetor w: R = Q + t w ; t in R .
Queremos demonstrar que essas duas representações para a reta R são equivalentes se, e somente se, o ponto Q está na reta R original e existe um número real lambda neq 0 tal que w = lambda v.
Para resolver isso, vamos seguir os passos abaixo.
Passo 2
Implica Rightarrow: Vamos primeiro supor que R = Q + t w ; t in R . Isso significa que qualquer ponto na reta definida por P e v pode ser também representado usando Q e w.
Como P está na reta R original, ele também deve estar na nova representação. Então, podemos escrever:
P = Q + t0 w
para algum t0 in R. Isso mostra que Q pertence à reta R, pois podemos expressar P (um ponto da reta) a partir de Q.
Além disso, os vetores diretores devem ser proporcionais para que as retas sejam a mesma. Ou seja, deve existir um lambda in R^* (não nulo) tal que:
w = lambda v
Isso garante que as direções das duas representações da reta R sejam as mesmas.
Passo 3
Implica Leftarrow: Agora, vamos supor que Q in R e existe um lambda in R^* tal que w = lambda v.
Como Q está na reta R, podemos escrever:
Q = P + t1 v
para algum t1 in R.
Substituindo w por lambda v na nova representação da reta, temos:
Q + t w = Q + t lambda v
= (P + t1 v) + t lambda v
= P + (t1 + t lambda) v
Que é uma expressão da reta R original. Assim, as duas representações definem a mesma reta.
Resposta
Portanto, R = Q + t w ; t in R se e somente se Q está na reta R e existe um número real lambda neq 0 tal que w = lambda v.