Dados e , demonstre que se e somente se e existe verificando .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas retas no espaço tridimensional :
A reta é definida por todos os pontos que podem ser obtidos a partir de um ponto fixo e adicionando múltiplos do vetor . Ou seja, .
A outra reta é definida de forma similar, mas com um ponto fixo e um vetor : .
Queremos demonstrar que essas duas representações para a reta são equivalentes se, e somente se, o ponto está na reta original e existe um número real tal que .
Para resolver isso, vamos seguir os passos abaixo.
Passo 2
Implica : Vamos primeiro supor que . Isso significa que qualquer ponto na reta definida por e pode ser também representado usando e .
Como está na reta original, ele também deve estar na nova representação. Então, podemos escrever:
para algum . Isso mostra que pertence à reta , pois podemos expressar (um ponto da reta) a partir de .
Além disso, os vetores diretores devem ser proporcionais para que as retas sejam a mesma. Ou seja, deve existir um (não nulo) tal que:
Isso garante que as direções das duas representações da reta sejam as mesmas.
Passo 3
Implica : Agora, vamos supor que e existe um tal que .
Como está na reta , podemos escrever:
para algum .
Substituindo por na nova representação da reta, temos:
Que é uma expressão da reta original. Assim, as duas representações definem a mesma reta.
Resposta
Portanto, se e somente se está na reta e existe um número real tal que .