Determine todas as esferas de E^3 cuja intersecão com o plano XY seja o conjunto
C=(x, y, 0) in E^3 ; x^2+y^2-2 x-4 y-3=0
Dentre essas esferas, determine equaçao(ões) para a(s) que passa (m) pelo ponto (0,0,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar todas as esferas no espaço tridimensional, E^3, que intersectam o plano XY no conjunto C definido pela equação:
C=(x, y, 0) in E^3 ; x^2+y^2-2 x-4 y-3=0
Além disso, entre essas esferas, precisamos encontrar quais passam pelo ponto (0,0,3). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre esferas e intersecções com planos.

Passo 2

Primeiramente, vamos entender melhor o conjunto C. Temos a equação:
x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 = 0
Essa é a equação geral de um círculo no plano XY. Para identificar o centro e o raio, vamos reescrever essa equação na forma padrão da equação de um círculo, que é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde (h, k) é o centro e r é o raio.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para reescrever a equação na forma padrão.
Primeiro, agrupamos os termos de x e y:
x^2 - 2x + y^2 - 4y = 3
Agora, completamos o quadrado para x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
E para y:
y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4
Substituindo de volta na equação:
(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 3
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 5 = 3
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8

Passo 4

Então, o conjunto C é um círculo no plano XY com centro em (1, 2, 0) e raio raiz8 = 2raiz2. Agora, queremos encontrar todas as esferas que, ao cortar o plano XY, resultam nesse círculo C.
Sabemos que a intersecção de uma esfera com um plano é um círculo, e o centro desse círculo está projetado no plano a partir do centro da esfera. Isso significa que o centro da esfera deve estar acima ou abaixo do centro do círculo C ao longo do eixo Z.

Passo 5

Vamos considerar o centro da esfera como (1, 2, k), onde k é a coordenada Z que vamos determinar. O raio da esfera, R, está relacionado com o raio do círculo de intersecção e a distância entre o centro da esfera e o plano XY.
A relação entre eles é dada pela fórmula:
R^2 = r^2 + k^2
onde r = 2raiz2 é o raio do círculo C, e k é a distância vertical entre o centro da esfera e o plano XY.

Passo 6

Então, temos que:
R^2 = (2raiz2)^2 + k^2
R^2 = 8 + k^2
Isso nos dá uma relação entre R e k. Agora, precisamos expressar a equação geral da esfera com centro em (1, 2, k) e raio R.
A equação de uma esfera com centro em (h, k, l) e raio R é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = R^2
Substituindo pelo nosso centro:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - k)^2 = R^2

Passo 7

Agora, substituímos R^2 pela expressão obtida anteriormente:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - k)^2 = 8 + k^2
Vamos simplificar essa equação:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 - 2kz + k^2 = 8 + k^2
Os termos k^2 se cancelam:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 - 2kz = 8
Portanto, a equação geral das esferas que intersectam o plano XY no círculo C é:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 - 2kz = 8
Aqui, k é um parâmetro que pode ser qualquer número real, representando a posição vertical do centro da esfera.

Passo 8

Agora, precisamos determinar quais dessas esferas passam pelo ponto (0, 0, 3). Para isso, substituímos x = 0, y = 0 e z = 3 na equação da esfera e resolvemos para k.
Substituindo:
(0 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + 3^2 - 2k(3) = 8
Calculando:
1 + 4 + 9 - 6k = 8
14 - 6k = 8
Resolvendo para k:
-6k = 8 - 14
-6k = -6
k = 1

Passo 9

Encontramos que k = 1. Agora, substituímos esse valor de volta na equação geral da esfera:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 - 2(1)z = 8
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 - 2z = 8
Essa é a equação da esfera que intersecta o plano XY no círculo C e passa pelo ponto (0, 0, 3).

Resposta

A equação da esfera que satisfaz as condições do exercício é:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 - 2z = 8

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