Determine todas as esferas de cuja intersecão com o plano XY seja o conjunto
Dentre essas esferas, determine equaçao(ões) para a(s) que passa (m) pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar todas as esferas no espaço tridimensional, , que intersectam o plano XY no conjunto definido pela equação:
Além disso, entre essas esferas, precisamos encontrar quais passam pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre esferas e intersecções com planos.

Passo 2

Primeiramente, vamos entender melhor o conjunto . Temos a equação:
Essa é a equação geral de um círculo no plano XY. Para identificar o centro e o raio, vamos reescrever essa equação na forma padrão da equação de um círculo, que é:
onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para reescrever a equação na forma padrão.
Primeiro, agrupamos os termos de e :
Agora, completamos o quadrado para :
E para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Passo 4

Então, o conjunto é um círculo no plano XY com centro em e raio . Agora, queremos encontrar todas as esferas que, ao cortar o plano XY, resultam nesse círculo .
Sabemos que a intersecção de uma esfera com um plano é um círculo, e o centro desse círculo está projetado no plano a partir do centro da esfera. Isso significa que o centro da esfera deve estar acima ou abaixo do centro do círculo ao longo do eixo Z.

Passo 5

Vamos considerar o centro da esfera como , onde é a coordenada Z que vamos determinar. O raio da esfera, , está relacionado com o raio do círculo de intersecção e a distância entre o centro da esfera e o plano XY.
A relação entre eles é dada pela fórmula:
onde é o raio do círculo , e é a distância vertical entre o centro da esfera e o plano XY.

Passo 6

Então, temos que:
Isso nos dá uma relação entre e . Agora, precisamos expressar a equação geral da esfera com centro em e raio .
A equação de uma esfera com centro em e raio é:
Substituindo pelo nosso centro:

Passo 7

Agora, substituímos pela expressão obtida anteriormente:
Vamos simplificar essa equação:
Os termos se cancelam:
Portanto, a equação geral das esferas que intersectam o plano XY no círculo é:
Aqui, é um parâmetro que pode ser qualquer número real, representando a posição vertical do centro da esfera.

Passo 8

Agora, precisamos determinar quais dessas esferas passam pelo ponto . Para isso, substituímos , e na equação da esfera e resolvemos para .
Substituindo:
Calculando:
Resolvendo para :

Passo 9

Encontramos que . Agora, substituímos esse valor de volta na equação geral da esfera:
Simplificando:
Essa é a equação da esfera que intersecta o plano XY no círculo e passa pelo ponto .

Resposta

A equação da esfera que satisfaz as condições do exercício é:

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