Determine todas as esferas de
cuja intersecão com o plano XY seja o conjunto
Dentre essas esferas, determine equaçao(ões) para a(s) que passa (m) pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar todas as esferas no espaço tridimensional,
, que intersectam o plano XY no conjunto
definido pela equação:
Além disso, entre essas esferas, precisamos encontrar quais passam pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre esferas e intersecções com planos.
Passo 2
Primeiramente, vamos entender melhor o conjunto
. Temos a equação:
Essa é a equação geral de um círculo no plano XY. Para identificar o centro e o raio, vamos reescrever essa equação na forma padrão da equação de um círculo, que é:
onde
é o centro e
é o raio.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para reescrever a equação na forma padrão.
Primeiro, agrupamos os termos de
e
:
Agora, completamos o quadrado para
:
E para
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 4
Então, o conjunto
é um círculo no plano XY com centro em
e raio
. Agora, queremos encontrar todas as esferas que, ao cortar o plano XY, resultam nesse círculo
.
Sabemos que a intersecção de uma esfera com um plano é um círculo, e o centro desse círculo está projetado no plano a partir do centro da esfera. Isso significa que o centro da esfera deve estar acima ou abaixo do centro do círculo
ao longo do eixo Z.
Passo 5
Vamos considerar o centro da esfera como
, onde
é a coordenada Z que vamos determinar. O raio da esfera,
, está relacionado com o raio do círculo de intersecção e a distância entre o centro da esfera e o plano XY.
A relação entre eles é dada pela fórmula:
onde
é o raio do círculo
, e
é a distância vertical entre o centro da esfera e o plano XY.
Passo 6
Então, temos que:
Isso nos dá uma relação entre
e
. Agora, precisamos expressar a equação geral da esfera com centro em
e raio
.
A equação de uma esfera com centro em
e raio
é:
Substituindo pelo nosso centro:
Passo 7
Agora, substituímos
pela expressão obtida anteriormente:
Vamos simplificar essa equação:
Os termos
se cancelam:
Portanto, a equação geral das esferas que intersectam o plano XY no círculo
é:
Aqui,
é um parâmetro que pode ser qualquer número real, representando a posição vertical do centro da esfera.
Passo 8
Agora, precisamos determinar quais dessas esferas passam pelo ponto
. Para isso, substituímos
,
e
na equação da esfera e resolvemos para
.
Substituindo:
Calculando:
Resolvendo para
:
Passo 9
Encontramos que
. Agora, substituímos esse valor de volta na equação geral da esfera:
Simplificando:
Essa é a equação da esfera que intersecta o plano XY no círculo
e passa pelo ponto
.
Resposta
A equação da esfera que satisfaz as condições do exercício é: