Dados os pares de funções abaixo: (e)\left{t^{2}+5 t, t^{2}-5 t\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em (-infinito, infinito);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o Wronskiano do par de funções e determinar se esse conjunto é linearmente independente ou dependente no intervalo . Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a verificar a independência linear das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano é uma ferramenta usada em cálculo para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente ou dependente. Para duas funções e , o Wronskiano é definido como:
Isso significa que calculamos o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Wronskiano das funções dadas: e .
Primeiro, encontramos as derivadas dessas funções:
Agora, montamos a matriz e calculamos o determinante:
Calculando o determinante:
Vamos expandir cada termo:
Subtraindo os dois resultados:

Passo 4

Agora que temos o Wronskiano , vamos analisar o que isso significa para a independência linear das funções.
Se o Wronskiano for diferente de zero em todo o intervalo considerado, as funções são linearmente independentes. Se for zero em algum lugar, pode indicar dependência.
No caso, é igual a zero somente quando . Porém, fora desse ponto, o Wronskiano é diferente de zero. Portanto, as funções são linearmente independentes no intervalo , exceto possivelmente em .

Resposta

O Wronskiano das funções é . Como o Wronskiano é diferente de zero para todo no intervalo (exceto em , onde é zero), concluímos que o conjunto de funções é linearmente independente nesse intervalo.

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