No problema correspondente a você, procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
:
i. Mostre que o ponto
é um ponto ordinário.
ii. Encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre os quatro primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções
e
(lembre que a solução geral é da forma
.
iv. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
v. Obtenha os valores de
e
, usando as condições iniciais
.
vi. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de
e
encontrados no item anterior.
(Note que
).
i. Mostre que o ponto
ii. Encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre os quatro primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções
iv. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
v. Obtenha os valores de
vi. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando séries de potências. O enunciado pede para encontrar a solução dessa equação diferencial em torno do ponto
. Para isso, vamos precisar identificar se
é um ponto ordinário, encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes da série, determinar os primeiros termos das soluções, possivelmente encontrar uma expressão geral para os termos, e finalmente usar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é um ponto ordinário para a equação diferencial dada. Um ponto
é ordinário se as funções que multiplicam
e
na equação forem analíticas (ou pelo menos contínuas) em
.
Passo 3
A equação dada é:
Vamos reescrever na forma padrão:
Dividindo todos os termos por
:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos analisar a regularidade de
e
em
:
Como
e
são finitos em
, o ponto
é um ponto ordinário.
Passo 5
Agora, vamos assumir uma solução em série de potências em torno de
:
Derivando termo a termo:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Vamos multiplicar e reorganizar os termos.
Passo 7
Multiplicando
pelos termos de
:
Multiplicando
pelos termos de
:
E adicionando
:
Passo 8
Agora, vamos ajustar os índices para que todas as somas tenham
:
Para o primeiro termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Para o terceiro termo:
Para o quarto termo:
E para
:
Passo 9
Combinando todos os termos:
Simplificando:
Passo 10
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Podemos dividir por
(desde que
):
Portanto, nossa relação de recorrência é:
Passo 11
Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos não nulos para cada uma das soluções
e
. Para isso, precisamos escolher os valores iniciais de
e
.
Vamos considerar duas soluções independentes:
- Para
, suponha e . - Para
, suponha e .
Passo 12
Solução
:
,
Usando a relação de recorrência:
Usando a relação de recorrência:
Então, os primeiros termos de
:
Passo 13
Solução
:
,
Usando a relação de recorrência:
Usando a relação de recorrência:
Então, os primeiros termos de
:
Passo 14
Se possível, vamos tentar encontrar uma expressão geral para os termos de cada solução. Observando os padrões dos coeficientes:
- Para
, os coeficientes seguem uma relação que sugere termos envolvendo fatorial. - Para
, de forma semelhante, os coeficientes podem ser expressos usando fatorial.
No entanto, devido à complexidade das relações, não é trivial encontrar uma expressão fechada para os termos gerais sem realizar cálculos adicionais. Portanto, neste caso, vamos nos ater aos primeiros termos encontrados.
Passo 15
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar os valores de
e
. As condições dadas são:
Usando a solução geral:
Para
:
Para
, primeiro calculamos
:
Calculando em
:
Portanto:
Passo 16
Com
e
, a solução do problema é:
Substituindo os termos encontrados:
Simplificando os termos:
Resposta
A solução do problema é:
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