Resolva as seguintes equações diferenciais: (g)

Passo 1

Beleza, então temos que resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções de equações homogêneas desse tipo usando equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a equação diferencial a uma equação característica. Para isso, substituímos por , por e por 1. Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante:

Passo 4

Com o discriminante positivo, temos duas raízes reais distintas:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos as raízes e , a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais: (e)
Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? c) ,
Dados os pares de funções abaixo: (e)\left{t^{2}+5 t, t^{2}-5 t\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;
No problema correspondente a você, procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado :
i. Mostre que o ponto é um ponto ordinário.
ii. Encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre os quatro primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções e (lembre que a solução geral é da forma .
iv. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
v. Obtenha os valores de e , usando as condições iniciais .
vi. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de e encontrados no item anterior.
(Note que ).