Resolva as seguintes equações diferenciais: (g)
Passo 1
Beleza, então temos que resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções de equações homogêneas desse tipo usando equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos associar a equação diferencial a uma equação característica. Para isso, substituímos
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Passo 4
Com o discriminante positivo, temos duas raízes reais distintas:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais: (e)
Verifique que as soluções
e
são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? c) ,
Dados os pares de funções abaixo: (e)\left{t^{2}+5 t, t^{2}-5 t\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em
;
No problema correspondente a você, procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
:
i. Mostre que o ponto é um ponto ordinário.
ii. Encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre os quatro primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções e
(lembre que a solução geral é da forma
.
iv. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
v. Obtenha os valores de e
, usando as condições iniciais
.
vi. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de e
encontrados no item anterior.
(Note que
).
i. Mostre que o ponto
ii. Encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre os quatro primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções
iv. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
v. Obtenha os valores de
vi. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de