Dados o plano e as as retas e abaixo. Determinar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos de intersecção das retas e com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos onde as retas e interceptam o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente de interseção entre retas e planos, e de como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . A reta está dada na forma simétrica:
Isso significa que podemos parametrizar a reta em função de :
Agora, substituímos essas expressões na equação do plano :
Vamos calcular passo a passo:
Agora, substituímos de volta nas equações paramétricas para achar as coordenadas do ponto de interseção :
Então, o ponto de interseção da reta com o plano é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . A reta está dada nas equações paramétricas:
Substituímos essas expressões na equação do plano :
Calculando passo a passo:
Agora, substituímos de volta nas equações paramétricas para achar as coordenadas do ponto de interseção :
Então, o ponto de interseção da reta com o plano é:
Passo 4
Agora que temos os dois pontos e , podemos determinar a equação reduzida da reta que passa por eles. A equação reduzida da reta pode ser escrita na forma vetorial ou paramétrica, mas vamos optar por uma forma que facilite a visualização.
Primeiro, encontramos o vetor diretor da reta :
Vamos calcular cada componente:
Simplificando as frações:
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador para facilitar:
Agora, o vetor diretor da reta é:
Podemos simplificar dividindo todos os componentes por um fator comum se existir, mas para manter a precisão, vamos deixar assim.
Agora, escolhendo um dos pontos, por exemplo, , a equação paramétrica da reta fica:
Onde é o parâmetro.
Resposta
A equação reduzida da reta que passa pelos pontos de interseção das retas e com o plano é: