Dados o plano e as as retas e abaixo. Determinar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos de intersecção das retas e com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos onde as retas e interceptam o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente de interseção entre retas e planos, e de como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto onde a reta x+22 = y+63 = z+34 = k (k in R) intercepta o plano x = -2 + 2k y = -6 + 3k z = -3 + 4k . A reta 5x - 7y - 2z - 3 = 0 5(-2 + 2k) - 7(-6 + 3k) - 2(-3 + 4k) - 3 = 0 está dada na forma simétrica:
Substituímos essas expressões na equação do plano Q ( 438, 138, 254 ) :
Calculando passo a passo:
Agora, substituímos de volta nas equações paramétricas para achar as coordenadas do ponto de interseção :
Então, o ponto de interseção da reta com o plano é:
Passo 4
Agora que temos os dois pontos PQ = Q - P = ( 438 - 3219, 138 - -919, 254 - 8319 ) e 438 - 3219 = 43 times 19 - 32 times 8152 = 817 - 256152 = 561152 138 - -919 = 13 times 19 + 9 times 8152 = 247 + 72152 = 319152 254 - 8319 = 25 times 19 - 83 times 476 = 475 - 33276 = 14376 , podemos determinar a equação reduzida da reta que passa por eles. A equação reduzida da reta pode ser escrita na forma vetorial ou paramétrica, mas vamos optar por uma forma que facilite a visualização.
Primeiro, encontramos o vetor diretor da reta PQ = ( 561152, 319152, 14376 ) :
x = 3219 + 561152 cdot lambda y = -919 + 319152 cdot lambda z = 8319 + 286152 cdot lambda
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador para facilitar:
Agora, o vetor diretor da reta é:
Podemos simplificar dividindo todos os componentes por um fator comum se existir, mas para manter a precisão, vamos deixar assim.
Agora, escolhendo um dos pontos, por exemplo, , a equação paramétrica da reta fica:
Onde é o parâmetro.
Resposta
A equação reduzida da reta que passa pelos pontos de interseção das retas x = dfrac3219 + dfrac561152 lambda y = dfrac-919 + dfrac319152 lambda z = dfrac8319 + dfrac286152 lambda lambda in R e com o plano é: