Dados o plano alpha: 5 x-7 y-2 z-3=0 e as as retas r e s abaixo. Determinar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos de intersecção das retas r e s com o plano alpha.
r:x+22=y+63=z+34 s:l x=6-t y=1+t, z=5+2 t t in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos onde as retas e interceptam o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente de interseção entre retas e planos, e de como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto onde a reta x+22 = y+63 = z+34 = k (k in R) intercepta o plano x = -2 + 2k y = -6 + 3k z = -3 + 4k . A reta 5x - 7y - 2z - 3 = 0 5(-2 + 2k) - 7(-6 + 3k) - 2(-3 + 4k) - 3 = 0 está dada na forma simétrica:
-10 + 10k + 42 - 21k + 6 - 8k - 3 = 0 (-10 + 42 + 6 - 3) + (10k - 21k - 8k) = 0 35 - 19k = 0 19k = 35 k = 3519
Isso significa que podemos parametrizar a reta x = -2 + 2(3519) = -2 + 7019 = -38 + 7019 = 3219 y = -6 + 3(3519) = -6 + 10519 = -114 + 10519 = -919 z = -3 + 4(3519) = -3 + 14019 = -57 + 14019 = 8319 em função de P ( 3219, -919, 8319 ) :
Agora, substituímos essas expressões na equação do plano :
Vamos calcular passo a passo:
Agora, substituímos de volta nas equações paramétricas para achar as coordenadas do ponto de interseção :
Então, o ponto de interseção da reta com o plano é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto onde a reta x = 6 - t y = 1 + t z = 5 + 2t intercepta o plano 5x - 7y - 2z - 3 = 0 5(6 - t) - 7(1 + t) - 2(5 + 2t) - 3 = 0 . A reta 30 - 5t - 7 - 7t - 10 - 4t - 3 = 0 (30 - 7 - 10 - 3) + (-5t -7t -4t) = 0 10 - 16t = 0 16t = 10 t = 1016 = 58 está dada nas equações paramétricas:
x = 6 - 58 = 488 - 58 = 438 y = 1 + 58 = 88 + 58 = 138 z = 5 + 2(58) = 5 + 108 = 408 + 108 = 508 = 254
Substituímos essas expressões na equação do plano Q ( 438, 138, 254 ) :
Calculando passo a passo:
Agora, substituímos de volta nas equações paramétricas para achar as coordenadas do ponto de interseção :
Então, o ponto de interseção da reta com o plano é:

Passo 4

Agora que temos os dois pontos PQ = Q - P = ( 438 - 3219, 138 - -919, 254 - 8319 ) e 438 - 3219 = 43 times 19 - 32 times 8152 = 817 - 256152 = 561152 138 - -919 = 13 times 19 + 9 times 8152 = 247 + 72152 = 319152 254 - 8319 = 25 times 19 - 83 times 476 = 475 - 33276 = 14376 , podemos determinar a equação reduzida da reta que passa por eles. A equação reduzida da reta pode ser escrita na forma vetorial ou paramétrica, mas vamos optar por uma forma que facilite a visualização.
Primeiro, encontramos o vetor diretor da reta PQ = ( 561152, 319152, 14376 ) :
PQ = ( 561152, 319152, 14376 ) = ( 561152, 319152, 286152 )
Vamos calcular cada componente:
d = ( 561152, 319152, 286152 ) = ( 561152, 319152, 286152 )
Simplificando as frações:
x = 3219 + 561152 cdot lambda y = -919 + 319152 cdot lambda z = 8319 + 286152 cdot lambda
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador para facilitar:
Agora, o vetor diretor da reta é:
Podemos simplificar dividindo todos os componentes por um fator comum se existir, mas para manter a precisão, vamos deixar assim.
Agora, escolhendo um dos pontos, por exemplo, , a equação paramétrica da reta fica:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação reduzida da reta que passa pelos pontos de interseção das retas x = dfrac3219 + dfrac561152 lambda y = dfrac-919 + dfrac319152 lambda z = dfrac8319 + dfrac286152 lambda lambda in R e com o plano é:

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