formam uma base. Esta base é ortogonal ou ortonormal? Determine as coordenadas do vetor na base
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
E queremos verificar se esses vetores formam uma base, se essa base é ortogonal ou ortonormal, e depois encontrar as coordenadas do vetor nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como base, vetores ortogonais, e coordenadas em uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se os vetores , e formam uma base. Para isso, precisamos verificar se eles são linearmente independentes e se geram o espaço tridimensional.
Linearmente Independentes: Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma maneira fácil de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, eles são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz com os vetores , e como colunas:
Agora, calculamos o determinante de :
Simplificando:
Como o determinante é diferente de zero (), os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa base é ortogonal ou ortonormal.
Ortogonal: Uma base é ortogonal se todos os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno (ou escalar) entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
Ortonormal: Além de ser ortogonal, os vetores também precisam ter norma igual a 1.
Vamos calcular os produtos internos:
:
:
:
Todos os produtos internos são zero, então a base é ortogonal.
Agora, vamos verificar se é ortonormal verificando as normas dos vetores:
:
:
:
Como , a base não é ortonormal. Portanto, é uma base ortogonal, mas não ortonormal.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor na base .
Em uma base , qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
Onde , , e são as coordenadas que queremos encontrar.
Como a base é ortogonal, podemos usar o seguinte método para encontrar , , e :