Verifique que os vetores
a=1raiz2(imath+k), b=1raiz2(imath-k), e c=2 jmath
formam uma base. Esta base é ortogonal ou ortonormal? Determine as coordenadas do vetor v=imath+2 jmath+3 k na base a, b, c

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três vetores:
a=1raiz2(imath+k), b=1raiz2(imath-k), c=2 jmath
E queremos verificar se esses vetores formam uma base, se essa base é ortogonal ou ortonormal, e depois encontrar as coordenadas do vetor v=imath+2 jmath+3 k nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como base, vetores ortogonais, e coordenadas em uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se os vetores a, b e c formam uma base. Para isso, precisamos verificar se eles são linearmente independentes e se geram o espaço tridimensional.
Linearmente Independentes: Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma maneira fácil de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, eles são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz com os vetores a, b e c como colunas:
M = 1raiz2 & 1raiz2 & 0 0 & 0 & 2 1raiz2 & -1raiz2 & 0
Agora, calculamos o determinante de M:
det(M) = 1raiz2 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot (-1raiz2)) - 1raiz2 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 1raiz2) + 0 cdot ()
Simplificando:
det(M) = 1raiz2 cdot (0 + 2raiz2) - 1raiz2 cdot (0 - 2raiz2) = 1raiz2 cdot 2raiz2 + 1raiz2 cdot 2raiz2 = 22 + 22 = 1 + 1 = 2
Como o determinante é diferente de zero ( 2 neq 0), os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa base é ortogonal ou ortonormal.
  • Ortogonal: Uma base é ortogonal se todos os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno (ou escalar) entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
  • Ortonormal: Além de ser ortogonal, os vetores também precisam ter norma igual a 1.
Vamos calcular os produtos internos:
  1. a cdot b:
a cdot b = 1raiz2(imath+k) cdot 1raiz2(imath-k) = 12(imath cdot imath - imath cdot k + k cdot imath - k cdot k) = 12(1 - 0 + 0 -1) = 0
  1. a cdot c:
a cdot c = 1raiz2(imath+k) cdot 2jmath = 2raiz2(imath cdot jmath + k cdot jmath) = 2raiz2(0 + 0) = 0
  1. b cdot c:
b cdot c = 1raiz2(imath-k) cdot 2jmath = 2raiz2(imath cdot jmath - k cdot jmath) = 2raiz2(0 - 0) = 0
Todos os produtos internos são zero, então a base é ortogonal.
Agora, vamos verificar se é ortonormal verificando as normas dos vetores:
  1. |a|:
|a| = raiz(1raiz2)^2 + 0^2 + (1raiz2)^2 = raiz12 + 0 + 12 = raiz1 = 1
  1. |b|:
|b| = raiz(1raiz2)^2 + 0^2 + (-1raiz2)^2 = raiz12 + 0 + 12 = raiz1 = 1
  1. |c|:
|c| = raiz0^2 + (2)^2 + 0^2 = raiz4 = 2
Como |c| neq 1, a base não é ortonormal. Portanto, é uma base ortogonal, mas não ortonormal.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor v = imath + 2jmath + 3k na base a, b, c.
Em uma base a, b, c, qualquer vetor v pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
v = xa + yb + zc
Onde x, y, e z são as coordenadas que queremos encontrar.
Como a base é ortogonal, podemos usar o seguinte método para encontrar x, y, e z:
x = v cdot a|a|^2, y = v cdot b|b|^2, z = v cdot c|c|^2
Vamos calcular cada coordenada:
  1. Calculando x:
x = v cdot a|a|^2 = (imath + 2jmath + 3k) cdot 1raiz2(imath + k)1^2 = 1raiz2(1 cdot 1 + 0 cdot 2 + 3 cdot 1) = 1 + 3raiz2 = 4raiz2 = 2raiz2
  1. Calculando y:
y = v cdot b|b|^2 = (imath + 2jmath + 3k) cdot 1raiz2(imath - k)1^2 = 1raiz2(1 cdot 1 + 0 cdot 2 + 3 cdot (-1)) = 1 - 3raiz2 = -2raiz2 = -raiz2
  1. Calculando z:
z = v cdot c|c|^2 = (imath + 2jmath + 3k) cdot 2jmath2^2 = 2(0 cdot 1 + 2 cdot 1 + 0 cdot 3)4 = 2 cdot 24 = 44 = 1

Resposta

As coordenadas do vetor v = imath + 2 jmath + 3 k na base a, b, c são boxed ( 2raiz2, -raiz2, 1 ) .

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