Dados os vetores u=(2,1,-1) e v=(1,-1, b), calcule b de modo que a área do paralelogramo determinado por u e v seja raiz62.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que a área do paralelogramo formado pelos vetores e seja igual a . Para isso, vamos usar o conteúdo de produto vetorial de vetores no espaço tridimensional e como calcular a área de um paralelogramo usando esse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores é igual ao módulo (ou tamanho) do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Área = |u times v| Á
Então, precisamos calcular o produto vetorial e depois encontrar seu módulo.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 ) . A fórmula para o produto vetorial de dois vetores u times v = ( 1 cdot b - (-1) cdot (-1), (-1) cdot 1 - 2 cdot b, 2 cdot (-1) - 1 cdot 1 ) e u times v = ( b - 1, -1 - 2b, -2 - 1 ) = (b - 1, -1 - 2b, -3) é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante. A fórmula para o módulo de um vetor |w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 é:
|u times v| = raiz(b - 1)^2 + (-1 - 2b)^2 + (-3)^2
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
|u times v| = raiz(b^2 - 2b + 1) + (1 + 4b + 4b^2) + 9 = raiz5b^2 + 2b + 11
Vamos expandir os termos:

Passo 5

Sabemos que a área do paralelogramo deve ser raiz5b^2 + 2b + 11 = raiz62 . Então, igualamos o módulo do produto vetorial a esse valor:
5b^2 + 2b + 11 = 62
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 6

Agora, vamos solucionar a equação quadrática:
5b^2 + 2b + 11 - 62 = 0 5b^2 + 2b - 51 = 0
Para encontrar b = -B pm raizB^2 - 4AC2A , usamos a fórmula de Bhaskara:
b = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 5 cdot (-51)2 cdot 5 b = -2 pm raiz4 + 102010 b = -2 pm raiz102410 b = -2 pm 3210
Onde b = 3010 = 3 ou b = -3410 = -3,4 , e :
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é ou .

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