Dados os vetores e , calcule de modo que a área do paralelogramo determinado por e seja .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que a área do paralelogramo formado pelos vetores e seja igual a . Para isso, vamos usar o conteúdo de produto vetorial de vetores no espaço tridimensional e como calcular a área de um paralelogramo usando esse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores é igual ao módulo (ou tamanho) do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Á
Então, precisamos calcular o produto vetorial e depois encontrar seu módulo.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial . A fórmula para o produto vetorial de dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante. A fórmula para o módulo de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
Vamos expandir os termos:

Passo 5

Sabemos que a área do paralelogramo deve ser . Então, igualamos o módulo do produto vetorial a esse valor:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 6

Agora, vamos solucionar a equação quadrática:
Para encontrar , usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é ou .

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