Dados os vetores
e
, calcule
de modo que a área do paralelogramo determinado por
e
seja
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
para que a área do paralelogramo formado pelos vetores
e
seja igual a
. Para isso, vamos usar o conteúdo de produto vetorial de vetores no espaço tridimensional e como calcular a área de um paralelogramo usando esse produto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores é igual ao módulo (ou tamanho) do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Então, precisamos calcular o produto vetorial
e depois encontrar seu módulo.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante. A fórmula para o módulo de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
Vamos expandir os termos:
Passo 5
Sabemos que a área do paralelogramo deve ser
. Então, igualamos o módulo do produto vetorial a esse valor:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 6
Agora, vamos solucionar a equação quadrática:
Para encontrar
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
ou
.