Dados o plano pi: 2 x-4 y+z-2=0 e as retas r: x=y=z+1, s:lx-y=0 z+1=0 e t:lx-y-z-1=0 x=0 e sabendo que essas retas e o plano determinam um tetraedro,
(a) Calcule a altura relativa à face situada no plano pi;
(b) Determine as coordenadas do pé da altura relativa ao vértice não pertencente ao plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria espacial juntos! A gente tem um plano e três retas , e que, juntas com o plano, formam um tetraedro. Nosso objetivo é:
a) Calcular a altura desse tetraedro em relação à face que está no plano .
b) Encontrar as coordenadas do pé da altura em relação ao vértice que não está no plano .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de interseção entre retas e planos, cálculo de distância ponto-plano e um pouco de álgebra vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vértices do tetraedro. Os vértices são os pontos onde as retas x = t + 1, y = t + 1, z = t , 2(t + 1) - 4(t + 1) + t - 2 = 0 e 2t + 2 - 4t - 4 + t - 2 = 0 (-t - 4) = 0 t = -4 intersectam o plano x = -4 + 1 = -3, y = -4 + 1 = -3, z = -4 .
Para a reta x - y = 0 Rightarrow x = y z + 1 = 0 Rightarrow z = -1 :
Podemos parametrizar a reta 2x - 4x + (-1) - 2 = 0 -2x - 3 = 0 -2x = 3 x = -32, y = -32, z = -1 tomando x - y - z - 1 = 0 x = 0 , então:
0 - y - z - 1 = 0 Rightarrow y + z = -1
Agora, substituímos essas expressões na equação do plano 2(0) - 4(-1 - t) + t - 2 = 0 0 + 4 + 4t + t - 2 = 0 5t + 2 = 0 t = -25 :
x = 0, y = -1 - (-25) = -35, z = -25
Resolvendo isso para :
Então, o ponto de interseção é:
Para a reta :
As equações são:
Substituindo na equação do plano :
Então, o ponto de interseção é .
Para a reta :
As equações são:
Substituindo na primeira equação:
Vamos parametrizar essa reta com , então .
Agora, substituímos , , na equação do plano :
Então, o ponto de interseção é:
Agora, temos os três vértices , e que estão no plano . O quarto vértice do tetraedro está na reta que não está no plano , mas precisamos identificar qual é. Como , e estão no plano , o vértice deve ser o ponto onde as retas se encontram fora do plano. Porém, no enunciado, todas as retas intersectam o plano , então na verdade, o tetraedro é formado pelos pontos de interseção das retas entre si e com o plano. Para simplificar, vamos considerar como o ponto comum das retas fora do plano, que neste caso, se trata de um vértice adicional que precisamos determinar, mas para o objetivo atual, já podemos prosseguir com os vértices encontrados.

Passo 3

Vamos focar na parte (a) do exercício: calcular a altura relativa à face situada no plano .
A altura de um tetraedro relativa a uma face é a distância do vértice que não pertence a essa face até o plano que contém a face.
No nosso caso, a face está no plano , e os vértices , e estão nessa face. Precisamos identificar o vértice que não está no plano e calcular a distância desse ponto até o plano .
Para encontrar o vértice :
Como já encontramos os pontos de interseção das retas com o plano , precisamos encontrar um ponto que pertence somente a uma das retas e não está no plano. No entanto, todas as três retas , e intersectam o plano em pontos diferentes, então o vértice pode ser considerado como sendo o ponto de interseção das retas , e sem considerar o plano, mas isso implica que as três retas devem se encontrar em um único ponto, o que não parece ser o caso aqui.
Para agilizar, vamos supor que o vértice está fora do plano e é necessário encontrá-lo a partir das retas , e . Porém, pelo enunciado, as retas e o plano determinam um tetraedro, portanto, precisamos considerar que as retas também se intersectam entre si fora do plano.
Por simplicidade, vamos considerar que o ponto é o ponto de interseção das retas , e fora do plano . No entanto, isso pode precisar de uma análise mais aprofundada, mas para o propósito deste exercício, vamos seguir com isso.

Passo 4

Para encontrar o vértice x = y = z + 1 , precisamos resolver o sistema das equações das retas x = t + 1, y = t + 1, z = t , x - y = 0 Rightarrow x = y z + 1 = 0 Rightarrow z = -1 e x - y - z - 1 = 0 x = 0 .
Equação da reta 0 - y - z - 1 = 0 Rightarrow y + z = -1 :
y + (-1) = -1 Rightarrow y = 0
Podemos escrever parametrizando com :
Equação da reta :
Equação da reta :
Agora, queremos encontrar um ponto que satisfaça todas essas condições simultaneamente.
Substituindo na equação de :
Da reta , sabemos que e .
Então, substituindo na equação acima:
E como , temos .
Portanto, o ponto é .

Passo 5

Agora que temos os quatro vértices do tetraedro:
Vamos identificar qual desses pontos está fora do plano . Pelo cálculo anterior, o ponto está na reta , que intersecta o plano no ponto . Portanto, é o vértice fora do plano .
Agora, precisamos calcular a distância do ponto ao plano . Essa distância será a altura do tetraedro relativa à face no plano .

Passo 6

Para calcular a distância de um ponto Distância = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 até um plano A = 2, B = -4, C = 1, D = -2 x0 = 0, y0 = 0, z0 = -1 , usamos a fórmula:
Distância = |2(0) - 4(0) + 1(-1) - 2|raiz2^2 + (-4)^2 + 1^2 = |-1 - 2|raiz4 + 16 + 1 = 3raiz21 = 3raiz2121 = raiz217 â
No nosso caso:
Substituindo na fórmula:
â
Então, a altura do tetraedro relativa à face no plano é .

Resposta

a) A altura relativa à face no plano é .

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