Dados u=(1,-1), v=(2,0) e w=(3,-2), determine:
|u|+|-2 v|+|-w|
2. Represente no sistema de coordenadas cartesianas no plano o vetor com origem em P1 e extremidade em P2. A seguir determine seu módulo e seu versor.
a) P1(2,3) e P2(-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores dados: u = (1, -1), v = (2, 0) e w = (3, -2). A primeira parte da pergunta quer que a gente calcule a soma dos módulos desses vetores, considerando algumas operações com eles. Além disso, na segunda parte, precisamos representar graficamente um vetor no plano cartesiano e encontrar seu módulo e versor.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: calcular |u| + |-2 v| + |-w|. Para isso, precisamos entender o que significa o módulo de um vetor. O módulo de um vetor a = (ax, ay) é dado por:
|a| = raizax^2 + ay^2
Também, quando multiplicamos um vetor por um escalar, como -2 v ou -w, o módulo do vetor resultante é o módulo do escalar vezes o módulo do vetor original. Ou seja:
|k a| = |k| times |a|

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Módulo de u:
    |u| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
  2. Módulo de -2 v:
    Primeiro, multiplicamos o vetor v por -2:
    -2 v = -2 times (2, 0) = (-4, 0)
    Agora, calculamos o módulo:
    |-2 v| = raiz(-4)^2 + 0^2 = raiz16 + 0 = 4
  3. Módulo de -w:
    Multiplicando o vetor w por -1:
    -w = -1 times (3, -2) = (-3, 2)
    Calculando o módulo:
    |-w| = raiz(-3)^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13

Passo 4

Agora, somamos todos os módulos que calculamos:
|u| + |-2 v| + |-w| = raiz2 + 4 + raiz13

Passo 5

Passando para a segunda parte da questão: precisamos representar o vetor que vai de P1(2,3) até P2(-1,0) no plano cartesiano, e depois encontrar seu módulo e versor.
Primeiro, vamos encontrar as componentes desse vetor. O vetor AB que vai de A(x1, y1) até B(x2, y2) é dado por:
AB = (x2 - x1, y2 - y1)

Passo 6

Aplicando isso aos pontos P1(2,3) e P2(-1,0):
P1P2 = (-1 - 2, 0 - 3) = (-3, -3)

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo do vetor P1P2:
|P1P2| = raiz(-3)^2 + (-3)^2 = raiz9 + 9 = raiz18 = 3raiz2

Passo 8

Por fim, o versor (ou vetor unitário) é o vetor com o mesmo sentido que P1P2, mas com módulo igual a 1. Para encontrar o versor, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo:
Versor = ( -33raiz2, -33raiz2 ) = ( -1raiz2, -1raiz2 )

Resposta

  1. A soma dos módulos é |u| + |-2 v| + |-w| = raiz2 + 4 + raiz13.
  2. O vetor que vai de P1(2,3) até P2(-1,0) é representado por P1P2 = (-3, -3), seu módulo é 3raiz2 e o versor é ( dfrac-1raiz2, dfrac-1raiz2 ).

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