Seja lambda in R. Obtenha equação geral do plano pi que contém a reta r : X=(1,1,0)+lambda(2,1,1) e é perpendicular a reta s: X=(1,0,0)+lambda(1,-2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica. A questão nos pede para encontrar a equação geral de um plano pi que contém a reta r e é perpendicular à reta s. Para isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano no espaço tridimensional, usando informações sobre uma reta que está no plano e a perpendicularidade com outra reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
  • A reta r é dada por X = (1,1,0) + lambda(2,1,1), onde (1,1,0) é um ponto da reta e (2,1,1) é o vetor diretor da reta.
  • A reta s é dada por X = (1,0,0) + lambda(1,-2,0), onde (1,0,0) é um ponto da reta e (1,-2,0) é o vetor diretor da reta.
Como o plano pi contém a reta r, ele passa pelo ponto (1,1,0) e tem como vetor diretor o vetor (2,1,1). Além disso, o plano pi é perpendicular à reta s, ou seja, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor de s.

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor normal do plano pi. Sabemos que o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. Como o plano contém a reta r, o vetor diretor de r, que é (2,1,1), está no plano. Além disso, como o plano é perpendicular à reta s, o vetor normal será paralelo ao vetor diretor de s, que é (1,-2,0).
Portanto, o vetor normal n do plano pi é (1,-2,0).

Passo 4

Com o vetor normal n = (1,-2,0) e sabendo que o plano passa pelo ponto (1,1,0), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a,b,c) são as coordenadas do vetor normal e (x0,y0,z0) é um ponto do plano.
Substituindo os valores:
1(x - 1) - 2(y - 1) + 0(z - 0) = 0
Simplificando:
x - 1 - 2y + 2 = 0 x - 2y + 1 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
x - 2y + 1 = 0

Exercícios relacionados