Seja
. Obtenha equação geral do plano
que contém a reta
:
e é perpendicular a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica. A questão nos pede para encontrar a equação geral de um plano
que contém a reta
e é perpendicular à reta
. Para isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano no espaço tridimensional, usando informações sobre uma reta que está no plano e a perpendicularidade com outra reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
- A reta
é dada por , onde é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta. - A reta
é dada por , onde é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta.
Como o plano
contém a reta
, ele passa pelo ponto
e tem como vetor diretor o vetor
. Além disso, o plano
é perpendicular à reta
, ou seja, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor de
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor normal do plano
. Sabemos que o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. Como o plano contém a reta
, o vetor diretor de
, que é
, está no plano. Além disso, como o plano é perpendicular à reta
, o vetor normal será paralelo ao vetor diretor de
, que é
.
Portanto, o vetor normal
do plano
é
.
Passo 4
Com o vetor normal
e sabendo que o plano passa pelo ponto
, podemos usar a equação geral do plano:
Onde
são as coordenadas do vetor normal e
é um ponto do plano.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano
é:
Exercícios relacionados
Dados
e
, determine:
Dados
e
, determine:
Dados
e
, determine:
2. Represente no sistema de coordenadas cartesianas no plano o vetor com origem em e extremidade em
. A seguir determine seu módulo e seu versor.
a) e
2. Represente no sistema de coordenadas cartesianas no plano o vetor com origem em
a)
Dados o plano
e as retas
e
e sabendo que essas retas e o plano determinam um tetraedro,
(a) Calcule a altura relativa à face situada no plano ;
(b) Determine as coordenadas do pé da altura relativa ao vértice não pertencente ao plano .
(a) Calcule a altura relativa à face situada no plano
(b) Determine as coordenadas do pé da altura relativa ao vértice não pertencente ao plano