Seja . Obtenha equação geral do plano que contém a reta : e é perpendicular a reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica. A questão nos pede para encontrar a equação geral de um plano que contém a reta e é perpendicular à reta . Para isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano no espaço tridimensional, usando informações sobre uma reta que está no plano e a perpendicularidade com outra reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
  • A reta é dada por , onde é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta.
  • A reta é dada por , onde é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta.
Como o plano contém a reta , ele passa pelo ponto e tem como vetor diretor o vetor . Além disso, o plano é perpendicular à reta , ou seja, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor de .

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor normal do plano . Sabemos que o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. Como o plano contém a reta , o vetor diretor de , que é , está no plano. Além disso, como o plano é perpendicular à reta , o vetor normal será paralelo ao vetor diretor de , que é .
Portanto, o vetor normal do plano é .

Passo 4

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as coordenadas do vetor normal e é um ponto do plano.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:

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Dados e , determine:
Dados e , determine:
Dados e , determine:

2. Represente no sistema de coordenadas cartesianas no plano o vetor com origem em e extremidade em . A seguir determine seu módulo e seu versor.
a) e
Dados o plano e as retas e e sabendo que essas retas e o plano determinam um tetraedro,
(a) Calcule a altura relativa à face situada no plano ;
(b) Determine as coordenadas do pé da altura relativa ao vértice não pertencente ao plano .