(4.0 pt) Dados o plano pi1:(x, y, z)=(0,-1,1)+lambda(-1,1,-1)+t(-2,2,-1) e a reta
r:l x=1+4 lambda y=3+3 lambda z=5+lambda
0 O^(d)(1.0 pt) Encontre a interseção do Plano pi1 com o Plano pi3: 2 x+y-z+2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois planos no espaço tridimensional: o plano e o plano . O objetivo é encontrar onde esses dois planos se cruzam, ou seja, a interseção entre eles. Para isso, vamos precisar entender as equações que definem cada plano e usar um pouco de álgebra para descobrir a reta onde eles se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o plano pi1: (x, y, z) = (0, -1, 1) + lambda(-1, 1, -1) + t(-2, 2, -1) . Ele está dado de forma paramétrica:
x = 0 - lambda - 2t y = -1 + lambda + 2t z = 1 - lambda - t
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido escolhendo valores para e . Vamos escrever as equações paramétricas separadas para , e :

Passo 3

Agora, vamos olhar para o plano pi3: 2x + y - z + 2 = 0 , que está dado pela equação cartesiana:
Nossa missão é encontrar os valores de e que fazem com que um ponto pertencente ao também satisfaça a equação de . Basicamente, vamos substituir as expressões de , e de na equação de .

Passo 4

Substituindo as expressões de 2( -lambda - 2t ) + (-1 + lambda + 2t) - (1 - lambda - t) + 2 = 0 na equação de -2lambda - 4t -1 + lambda + 2t -1 + lambda + t + 2 = 0 :
(-2lambda + lambda + lambda) + (-4t + 2t + t) + (-1 -1 +2) = 0
Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Multiplicar:
0lambda - t + 0 = 0
  1. Combinar termos semelhantes:
-t = 0 implies t = 0

Passo 5

Agora que sabemos que -t = 0 implies t = 0 , podemos encontrar x = -lambda y = -1 + lambda z = 1 - lambda . Vamos usar a equação simplificada:
Como , substituímos de volta nas equações de :
Não temos mais equações para , então podemos deixar como parâmetro. Assim, a interseção dos planos e é uma reta parametrizada por .

Resposta

A interseção dos planos x = -lambda y = -1 + lambda z = 1 - lambda e é a reta definida pelas equações paramétricas:

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