0 O^(d)(1.0 pt) Encontre a interseção do Plano pi1 com o Plano pi3: 2 x+y-z+2=0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois planos no espaço tridimensional: o plano e o plano . O objetivo é encontrar onde esses dois planos se cruzam, ou seja, a interseção entre eles. Para isso, vamos precisar entender as equações que definem cada plano e usar um pouco de álgebra para descobrir a reta onde eles se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o plano pi1: (x, y, z) = (0, -1, 1) + lambda(-1, 1, -1) + t(-2, 2, -1) . Ele está dado de forma paramétrica:
x = 0 - lambda - 2t y = -1 + lambda + 2t z = 1 - lambda - t
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido escolhendo valores para e . Vamos escrever as equações paramétricas separadas para , e :
Passo 3
Agora, vamos olhar para o plano pi3: 2x + y - z + 2 = 0 , que está dado pela equação cartesiana:
Nossa missão é encontrar os valores de e que fazem com que um ponto pertencente ao também satisfaça a equação de . Basicamente, vamos substituir as expressões de , e de na equação de .
Passo 4
Substituindo as expressões de 2( -lambda - 2t ) + (-1 + lambda + 2t) - (1 - lambda - t) + 2 = 0 na equação de -2lambda - 4t -1 + lambda + 2t -1 + lambda + t + 2 = 0 :