Sejam u=[r2 -1] e v=[l2 1]. Mostre que [lh k] pertence ao [u, v] quaisquer que sejam h e k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
u = 2 -1 e v = 2 1
A pergunta quer que a gente mostre que qualquer vetor da forma h k pode ser escrito como uma combinação desses vetores e . Isso envolve conceitos de combinação linear e espaço vetorial.

Passo 2

Uma combinação linear dos vetores h k = a cdot u + b cdot v e h k = a cdot 2 -1 + b cdot 2 1 significa que existe escalar h k = 2a + 2b -a + b e tal que:
Substituindo e :

Passo 3

Agora, igualamos as componentes correspondentes:
2a + 2b = h -a + b = k
Temos um sistema de equações lineares que precisamos resolver para e em termos de e .

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação para -a + b = k Rightarrow b = a + k :
2a + 2(a + k) = h 2a + 2a + 2k = h 4a + 2k = h 4a = h - 2k a = h - 2k4
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Agora que temos b = a + k = h - 2k4 + k = h - 2k + 4k4 = h + 2k4 , substituímos de volta para encontrar :

Passo 6

Com os valores de h k = h - 2k4 cdot 2 -1 + h + 2k4 cdot 2 1 e h k , podemos escrever:
Isso mostra que qualquer vetor pode ser expresso como uma combinação linear de e .

Resposta

Portanto, demonstramos que para quaisquer valores de h k e h k , o vetor pertence ao espaço gerado por e , ou seja, .

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