Seja
o conjunto de todos os vetores da forma apresentadas, com
e
representando números reais arbitrários. Em cada caso, determine um conjunto de vetores
que geram
ou dê um exemplo mostrando que
não é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um conjunto
que contém todos os vetores de uma certa forma, onde
,
e
são números reais qualquer. Nosso objetivo é descobrir um conjunto de vetores
que “gere”
ou mostrar que
não é um espaço vetorial. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais e gerações de conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa “gerar” um conjunto de vetores. Um conjunto
gera
se todo vetor em
pode ser formado por combinações lineares dos vetores em
. Ou seja, podemos multiplicar cada vetor de
por um escalar real e somar esses resultados para obter qualquer vetor em
.
Passo 3
Vamos supor que os vetores em
têm a seguinte forma geral:
Aqui,
,
e
são vetores fixos e
,
,
são números reais. Nosso trabalho é encontrar um conjunto
que consiga gerar qualquer vetor em
.
Passo 4
Vamos verificar se
é realmente um espaço vetorial. Para isso, precisamos checar se ele satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do vetor zero, etc.
- Fechamento sob adição: Se pegarmos dois vetores em
, suas somas também estarão em ? - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor de
por um escalar, o resultado ainda pertence a ?
Se todas essas propriedades forem verdadeiras, então
é um espaço vetorial.
Passo 5
Assumindo que
satisfaz todos os axiomas, podemos concluir que
é um conjunto gerador para
. Isso porque qualquer combinação linear desses três vetores pode formar qualquer vetor em
.
Passo 6
Por outro lado, se encontrarmos pelo menos uma propriedade que
não satisfaz, como por exemplo, não conter o vetor zero ou não ser fechado sob adição, então
não é um espaço vetorial.
Resposta
Assim, se
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, um conjunto de geração para
é
. Caso contrário,
não é um espaço vetorial.