Seja W o conjunto de todos os vetores da forma apresentadas, com a, b e c representando números reais arbitrários. Em cada caso, determine um conjunto de vetores S que geram W ou dê um exemplo mostrando que W não é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um conjunto que contém todos os vetores de uma certa forma, onde , e são números reais qualquer. Nosso objetivo é descobrir um conjunto de vetores que “gere” ou mostrar que não é um espaço vetorial. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais e gerações de conjuntos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “gerar” um conjunto de vetores. Um conjunto gera se todo vetor em pode ser formado por combinações lineares dos vetores em . Ou seja, podemos multiplicar cada vetor de por um escalar real e somar esses resultados para obter qualquer vetor em .

Passo 3

Vamos supor que os vetores em v = au + bv + cw têm a seguinte forma geral:
Aqui, , e são vetores fixos e , , são números reais. Nosso trabalho é encontrar um conjunto que consiga gerar qualquer vetor em .

Passo 4

Vamos verificar se é realmente um espaço vetorial. Para isso, precisamos checar se ele satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do vetor zero, etc.
  • Fechamento sob adição: Se pegarmos dois vetores em , suas somas também estarão em ?
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor de por um escalar, o resultado ainda pertence a ?
Se todas essas propriedades forem verdadeiras, então é um espaço vetorial.

Passo 5

Assumindo que satisfaz todos os axiomas, podemos concluir que é um conjunto gerador para . Isso porque qualquer combinação linear desses três vetores pode formar qualquer vetor em .

Passo 6

Por outro lado, se encontrarmos pelo menos uma propriedade que não satisfaz, como por exemplo, não conter o vetor zero ou não ser fechado sob adição, então não é um espaço vetorial.

Resposta

Assim, se satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial, um conjunto de geração para é . Caso contrário, não é um espaço vetorial.

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