Seja o conjunto de todos os vetores da forma , onde b e c são arbitrários. Determine vetores u e v tais que W=[u, v]. Por que isso mostra que W é um subespaço do R^3 ?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido na pergunta. Temos um conjunto 5b + 2c b c formado por vetores específicos no espaço tridimensional . Esses vetores têm a forma:
onde e são números reais quaisquer. O que precisamos fazer é:
Encontrar dois vetores e que, quando combinados, gerem todos os vetores de . Isso significa que será o “espaço gerado” por e , ou seja, .
Explicar por que isso mostra que é um subespaço de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e subespaços em álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa 5b + 2c b c = alpha cdot u + beta cdot v . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Ou seja:
onde e são escalares (números reais).
Nosso objetivo é encontrar quais vetores e fazem essa igualdade ser verdadeira para qualquer e .
Passo 3
Vamos expressar a combinação linear:
alpha cdot u + beta cdot v = alpha u1 + beta v1 alpha u2 + beta v2 alpha u3 + beta v3
Comparando com o vetor de 5b + 2c b c :
Temos que igualar as componentes correspondentes:
Passo 4
Observando as equações, vemos que as componentes 2 e 3 são simples:
alpha u2 + beta v2 = b e alpha u3 + beta v3 = c
Para simplificar, podemos escolher u = 5(1) + 2(0) 1 0 = 5 1 0 e v = 5(0) + 2(1) 0 1 = 2 0 1 de forma que:
O vetor corresponda ao caso quando e .
O vetor corresponda ao caso quando e .
Assim:
Passo 5
Agora, vamos verificar se qualquer vetor em alpha cdot 5 1 0 + beta cdot 2 0 1 = 5alpha + 2beta alpha beta pode ser escrito como uma combinação linear desses 5b + 2c b c e :
Comparando com o vetor de :
Vemos que e , satisfazendo todas as componentes.
Passo 6
Finalmente, para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar três propriedades:
Contém o vetor zero: Quando e , temos o vetor zero.
Fechamento sob adição: A soma de dois vetores em também estará em .
Fechamento sob multiplicação escalar: Multiplicar um vetor de por um escalar resulta em outro vetor em .
Como conseguimos expressar como o conjunto de todas as combinações lineares de e , que são vetores em , essas propriedades são garantidas.
Resposta
Os vetores u = 5 1 0 e v = 2 0 1 e que satisfazem são:
Isso mostra que é um subespaço de porque é gerado por duas combinações lineares desses vetores, satisfazendo assim as propriedades necessárias de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalares.