Seja
e
. Determine uma base e dimensão de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma base e a dimensão dos conjuntos
e
no espaço tridimensional
. Vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais, bases e dimensões para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto
. Isso significa que em qualquer vetor de
, a terceira coordenada
é igual à primeira coordenada
.
Passo 3
Podemos expressar qualquer vetor em
como
, já que
. Isso pode ser reescrito como uma combinação linear:
Aqui,
e
são vetores que, quando multiplicados por escalares
e
, respectivamente, geram todos os vetores de
.
Passo 4
Os vetores
e
são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para
.
Passo 5
A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como encontramos 2 vetores na base de
, a dimensão de
é 2.
Passo 6
Agora, vamos para o conjunto
. Aqui, qualquer vetor em
satisfaz a equação linear
.
Passo 7
Podemos resolver essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar
:
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como
.
Passo 8
Isso pode ser reescrito como uma combinação linear:
Aqui,
e
são vetores que, quando multiplicados por escalares
e
, respectivamente, geram todos os vetores de
.
Passo 9
Os vetores
e
também são linearmente independentes, então eles formam uma base para
.
Passo 10
Assim como em
, a dimensão de
é o número de vetores na sua base. Como temos 2 vetores na base de
, a dimensão de
é 2.
Resposta
A base de
é
com dimensão 2, e a base de
é
também com dimensão 2.
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.
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e
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