(5,0) Seja U=(x, y, z) in R^3 ; z=x e (x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0. Determine uma base e dimensão de U e V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma base e a dimensão dos conjuntos e no espaço tridimensional . Vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais, bases e dimensões para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto . Isso significa que em qualquer vetor de , a terceira coordenada é igual à primeira coordenada .

Passo 3

Podemos expressar qualquer vetor em (x, y, x) = x cdot (1, 0, 1) + y cdot (0, 1, 0) como , já que . Isso pode ser reescrito como uma combinação linear:
Aqui, e são vetores que, quando multiplicados por escalares e , respectivamente, geram todos os vetores de .

Passo 4

Os vetores e são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para .

Passo 5

A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como encontramos 2 vetores na base de , a dimensão de é 2.

Passo 6

Agora, vamos para o conjunto . Aqui, qualquer vetor em satisfaz a equação linear .

Passo 7

Podemos resolver essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar x = -y - z :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como .

Passo 8

Isso pode ser reescrito como uma combinação linear:
(-y - z, y, z) = y cdot (-1, 1, 0) + z cdot (-1, 0, 1)
Aqui, e são vetores que, quando multiplicados por escalares e , respectivamente, geram todos os vetores de .

Passo 9

Os vetores e também são linearmente independentes, então eles formam uma base para .

Passo 10

Assim como em , a dimensão de é o número de vetores na sua base. Como temos 2 vetores na base de , a dimensão de é 2.

Resposta

A base de é com dimensão 2, e a base de é também com dimensão 2.

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