Identificar a superfície
e a sua interseção com o plano
dado. Representar graficamente esta interseção no plano
.
e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos uma superfície
definida pela equação
e um plano
dado por
. A tarefa é identificar qual é a superfície
, descobrir como ela se intersecta com o plano
e, por fim, desenhar essa interseção no próprio plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre superfícies quadráticas e como encontrar a interseção entre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície é
. A equação geral de uma superfície quadrática é
. No nosso caso, não temos termos lineares em
,
ou
, então podemos simplificar. Observando os sinais dos coeficientes de
,
e
:
-
tem coeficiente positivo ( ) -
tem coeficiente positivo ( ) -
tem coeficiente negativo ( )
Quando duas variáveis têm coeficientes positivos e uma negativa, estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a interseção da superfície
com o plano
onde
. Para isso, substituímos
na equação de
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos simplificar ainda mais a equação resultante dividindo todos os termos por 9:
Essa é a equação de uma elipse no plano
(já que a soma de termos quadráticos iguais a uma constante positiva representa uma elipse). A forma padrão da elipse é:
Comparando com nossa equação
, podemos reescrever como:
Onde:
-
então -
então
Passo 5
Por fim, para representar graficamente essa interseção no plano
, desenhamos uma elipse centrada na origem do plano
(já que não há termos lineares em
ou
), com semi-eixos de comprimento
na direção
e
na direção
.
Resposta
A superfície
é um hiperboloide de uma folha. A interseção com o plano
(
) resulta em uma elipse definida por
, que pode ser representada graficamente no plano
como uma elipse centralizada na origem com semi-eixos
e
.
Exercícios relacionados
Dados os planos
e
, mostre que
se reduz a um ponto
. Determine-o.
Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.
Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.