Identificar a superfície S e a sua interseção com o plano pi dado. Representar graficamente esta interseção no plano pi.
S: 18 x^2+9 y^2-2 z^2-18=0 e pi: z=3

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação e um plano dado por . A tarefa é identificar qual é a superfície , descobrir como ela se intersecta com o plano e, por fim, desenhar essa interseção no próprio plano . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre superfícies quadráticas e como encontrar a interseção entre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície é . A equação geral de uma superfície quadrática é . No nosso caso, não temos termos lineares em , ou , então podemos simplificar. Observando os sinais dos coeficientes de , e :
  • tem coeficiente positivo ( )
  • tem coeficiente positivo ( )
  • tem coeficiente negativo ( )
Quando duas variáveis têm coeficientes positivos e uma negativa, estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção da superfície 18x^2 + 9y^2 - 2(3)^2 - 18 = 0 com o plano 18x^2 + 9y^2 - 18 - 18 = 0 18x^2 + 9y^2 - 36 = 0 onde . Para isso, substituímos na equação de :
Simplificando:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais a equação resultante dividindo todos os termos por 9:
2x^2 + y^2 = 4
Essa é a equação de uma elipse no plano x^2a^2 + y^2b^2 = 1 (já que a soma de termos quadráticos iguais a uma constante positiva representa uma elipse). A forma padrão da elipse é:
x^22 + y^24 = 1
Comparando com nossa equação , podemos reescrever como:
Onde:
  • então
  • então

Passo 5

Por fim, para representar graficamente essa interseção no plano , desenhamos uma elipse centrada na origem do plano (já que não há termos lineares em ou ), com semi-eixos de comprimento na direção e na direção .

Resposta

A superfície é um hiperboloide de uma folha. A interseção com o plano ( ) resulta em uma elipse definida por , que pode ser representada graficamente no plano como uma elipse centralizada na origem com semi-eixos e .

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