Identificar a superfície e a sua interseção com o plano dado. Representar graficamente esta interseção no plano .
e

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação e um plano dado por . A tarefa é identificar qual é a superfície , descobrir como ela se intersecta com o plano e, por fim, desenhar essa interseção no próprio plano . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre superfícies quadráticas e como encontrar a interseção entre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície é . A equação geral de uma superfície quadrática é . No nosso caso, não temos termos lineares em , ou , então podemos simplificar. Observando os sinais dos coeficientes de , e :
  • tem coeficiente positivo ( )
  • tem coeficiente positivo ( )
  • tem coeficiente negativo ( )
Quando duas variáveis têm coeficientes positivos e uma negativa, estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção da superfície com o plano onde . Para isso, substituímos na equação de :
Simplificando:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais a equação resultante dividindo todos os termos por 9:
Essa é a equação de uma elipse no plano (já que a soma de termos quadráticos iguais a uma constante positiva representa uma elipse). A forma padrão da elipse é:
Comparando com nossa equação , podemos reescrever como:
Onde:
  • então
  • então

Passo 5

Por fim, para representar graficamente essa interseção no plano , desenhamos uma elipse centrada na origem do plano (já que não há termos lineares em ou ), com semi-eixos de comprimento na direção e na direção .

Resposta

A superfície é um hiperboloide de uma folha. A interseção com o plano ( ) resulta em uma elipse definida por , que pode ser representada graficamente no plano como uma elipse centralizada na origem com semi-eixos e .

Exercícios relacionados

Dados os planos e , mostre que se reduz a um ponto . Determine-o.
Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.
Seja e . Determine uma base e dimensão de e .
Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados.