Dados os planos pi1: x-y+z+1=0 e pi2: x+y-z-1=0, determine o plano que contém pi1 cap pi2 e é ortogonal ao vetor (1,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois planos no espaço:
pi1: x - y + z + 1 = 0
pi2: x + y - z - 1 = 0
Nosso objetivo é encontrar um terceiro plano que contenha a interseção desses dois planos e que seja perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de planos, interseção de planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a linha de interseção entre x - y + z + 1 = 0 (1) x + y - z - 1 = 0 (2) e (1) + (2): 2x + 0y + 0z + 0 = 0 Rightarrow x = 0 . Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por esses dois planos. Vamos fazer isso de maneira simples:
0 - y + z + 1 = 0 Rightarrow z = y - 1
Podemos somar as duas equações para eliminar x = 0, y = t, z = t - 1 e :
Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar relação entre e . Usando a equação (1):
Então, a linha de interseção pode ser parametrizada assim:
Onde é um parâmetro real. Isso nos dá uma descrição completa da linha de interseção.

Passo 3

Agora, queremos encontrar um plano que contenha essa linha de interseção e que seja ortogonal ao vetor Direção da linha = (0, 1, 1) . Para isso, precisamos determinar a normal desse novo plano.
Sabemos que a normal de um plano é um vetor perpendicular a ele. Além disso, como o plano deve conter a linha de interseção das e , a normal desse plano também deve ser ortogonal aos vetores que definem a direção dessa linha.
Vamos primeiro encontrar dois vetores que estão nos planos e . A interseção deles nos dá a direção da linha, que podemos obter a partir da parametrização:
çã
Agora, como o plano que queremos é ortogonal ao vetor , a normal do nosso plano será uma combinação linear desses dois vetores. Contudo, como já temos que ele deve ser perpendicular a , podemos usar esse próprio vetor como normal.

Passo 4

Com a normal do plano sendo a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , podemos usar a forma geral da equação do plano:
x = 0, y = 1, z = 0
Onde 1(x - 0) + 1(y - 1) -1(z - 0) = 0 é o vetor normal e x + y - 1 - z = 0 é um ponto no plano.
Vamos escolher um ponto na linha de interseção. Usando o parâmetro , por exemplo:
Então, substituindo na equação do plano:

Resposta

O plano desejado é:
x + y - z - 1 = 0

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