Dados os planos e , determine o plano que contém e é ortogonal ao vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois planos no espaço:
Nosso objetivo é encontrar um terceiro plano que contenha a interseção desses dois planos e que seja perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de planos, interseção de planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a linha de interseção entre e . Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por esses dois planos. Vamos fazer isso de maneira simples:
Podemos somar as duas equações para eliminar e :
Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar relação entre e . Usando a equação (1):
Então, a linha de interseção pode ser parametrizada assim:
Onde é um parâmetro real. Isso nos dá uma descrição completa da linha de interseção.

Passo 3

Agora, queremos encontrar um plano que contenha essa linha de interseção e que seja ortogonal ao vetor . Para isso, precisamos determinar a normal desse novo plano.
Sabemos que a normal de um plano é um vetor perpendicular a ele. Além disso, como o plano deve conter a linha de interseção das e , a normal desse plano também deve ser ortogonal aos vetores que definem a direção dessa linha.
Vamos primeiro encontrar dois vetores que estão nos planos e . A interseção deles nos dá a direção da linha, que podemos obter a partir da parametrização:
çã
Agora, como o plano que queremos é ortogonal ao vetor , a normal do nosso plano será uma combinação linear desses dois vetores. Contudo, como já temos que ele deve ser perpendicular a , podemos usar esse próprio vetor como normal.

Passo 4

Com a normal do plano sendo , podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde é o vetor normal e é um ponto no plano.
Vamos escolher um ponto na linha de interseção. Usando o parâmetro , por exemplo:
Então, substituindo na equação do plano:

Resposta

O plano desejado é:

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Seja .
(b) Quanto é ? Por quê?
Verifique se os pontos abaixo pertencem à reta : .
Seja . Encontre . Justifique.
Prove que .