Dados os planos
e
, determine o plano que contém
e é ortogonal ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois planos no espaço:
Nosso objetivo é encontrar um terceiro plano que contenha a interseção desses dois planos e que seja perpendicular ao vetor
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de planos, interseção de planos e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a linha de interseção entre
e
. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por esses dois planos. Vamos fazer isso de maneira simples:
Podemos somar as duas equações para eliminar
e
:
Agora que sabemos que
, podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar relação entre
e
. Usando a equação (1):
Então, a linha de interseção pode ser parametrizada assim:
Onde
é um parâmetro real. Isso nos dá uma descrição completa da linha de interseção.
Passo 3
Agora, queremos encontrar um plano que contenha essa linha de interseção e que seja ortogonal ao vetor
. Para isso, precisamos determinar a normal desse novo plano.
Sabemos que a normal de um plano é um vetor perpendicular a ele. Além disso, como o plano deve conter a linha de interseção das
e
, a normal desse plano também deve ser ortogonal aos vetores que definem a direção dessa linha.
Vamos primeiro encontrar dois vetores que estão nos planos
e
. A interseção deles nos dá a direção da linha, que podemos obter a partir da parametrização:
Agora, como o plano que queremos é ortogonal ao vetor
, a normal do nosso plano será uma combinação linear desses dois vetores. Contudo, como já temos que ele deve ser perpendicular a
, podemos usar esse próprio vetor como normal.
Passo 4
Com a normal do plano sendo
, podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde
é o vetor normal e
é um ponto no plano.
Vamos escolher um ponto na linha de interseção. Usando o parâmetro
, por exemplo:
Então, substituindo na equação do plano:
Resposta
O plano desejado é:
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Seja
.
(b) Quanto é ? Por quê?
(b) Quanto é
Verifique se os pontos abaixo pertencem à reta
:
.
Seja
. Encontre
. Justifique.
Prove que
.