Verifique se os pontos abaixo pertencem à reta r : x+1=y-25=z+23.
(1,-2,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o ponto (1, -2, 2) está na reta r definida por x+1=y-25=z+23. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como representar retas no espaço e como verificar se um ponto está sobre essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta de uma forma mais fácil de trabalhar, usando um parâmetro t. A equação dada é simétrica:
x + 1 = y - 25 = z + 23 = t
Então, podemos expressar as coordenadas x, y e z em termos de t:
x = -1 + t
y = 2 + 5t
z = -2 + 3t
Dessa forma, temos as equações paramétricas da reta r.

Passo 3

Agora, queremos saber se o ponto (1, -2, 2) pertence a essa reta. Para isso, precisamos encontrar um valor de t que satisfaça todas as três equações simultaneamente quando substituímos x, y e z pelos valores do ponto.
Vamos resolver cada equação para t:
  1. Para x = 1:
    1 = -1 + t Rightarrow t = 2
  2. Para y = -2:
    -2 = 2 + 5t Rightarrow 5t = -4 Rightarrow t = -45
  3. Para z = 2:
    2 = -2 + 3t Rightarrow 3t = 4 Rightarrow t = 43

Passo 4

Observamos que os valores de t obtidos em cada equação são diferentes: t = 2, t = -45 e t = 43. Para que o ponto estivesse na reta, deveria existir um único valor de t que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Como não há um único t que funcione para todas, concluímos que o ponto não está na reta r.

Resposta

O ponto (1, -2, 2) não pertence à reta r.

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