Prove que |u wed>= v|^2+(u cdot v)^2=|u|^2|v|^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que para dois vetores e , a soma do quadrado do módulo do produto vetorial com o quadrado do produto escalar é igual ao produto dos quadrados dos módulos desses vetores. Isso está dentro do tema de Álgebra Vetorial, e vamos precisar das definições de produto escalar, produto vetorial e das normas dos vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar ( ) e o produto vetorial ( ). O produto escalar entre dois vetores dá um número real que está relacionado ao ângulo entre eles, enquanto o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 3

Sabemos também que o módulo de um vetor é dado por . Então, e .

Passo 4

Agora, vamos expressar os módulos dos produtos vetorial e escalar:
|u wed>= v|^2 = (u wed>= v) cdot (u wed>= v)
(u cdot v)^2 = (u cdot v) (u cdot v)

Passo 5

Vamos somar essas duas expressões:
|u wed>= v|^2 + (u cdot v)^2 = (u wed>= v) cdot (u wed>= v) + (u cdot v)^2

Passo 6

Há uma identidade vetorial que diz que:
(u cdot v)^2 + |u wed>= v|^2 = |u|^2 |v|^2
Essa identidade basicamente relaciona os produtos escalar e vetorial dos vetores com suas normas.

Passo 7

Portanto, ao substituir na nossa soma, temos:
|u wed>= v|^2 + (u cdot v)^2 = |u|^2 |v|^2

Resposta

Pronto! Provamos que .

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