Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que para dois vetores e , a soma do quadrado do módulo do produto vetorial com o quadrado do produto escalar é igual ao produto dos quadrados dos módulos desses vetores. Isso está dentro do tema de Álgebra Vetorial, e vamos precisar das definições de produto escalar, produto vetorial e das normas dos vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar ( ) e o produto vetorial ( ). O produto escalar entre dois vetores dá um número real que está relacionado ao ângulo entre eles, enquanto o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 3

Sabemos também que o módulo de um vetor é dado por . Então, e .

Passo 4

Agora, vamos expressar os módulos dos produtos vetorial e escalar:

Passo 5

Vamos somar essas duas expressões:

Passo 6

Há uma identidade vetorial que diz que:
Essa identidade basicamente relaciona os produtos escalar e vetorial dos vetores com suas normas.

Passo 7

Portanto, ao substituir na nossa soma, temos:

Resposta

Pronto! Provamos que .

Exercícios relacionados

Seja . Encontre . Justifique.
Dados os planos e , determine o plano que contém e é ortogonal ao vetor .
Faça o escalonamento das matrizes abaixo:
(a)
Prove que
(i) .
(ii) .