Seja A=(rr1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2). Encontre A^2001. Justifique.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos a matriz 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 . O objetivo é encontrar , ou seja, multiplicar a matriz por ela mesma 2001 vezes. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes e suas propriedades, especialmente matrizes ortogonais e potências de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma matriz especial. Observamos que é uma matriz ortogonal, o que significa que , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Matrizes ortogonais têm a propriedade de que suas potências seguem um padrão que facilita os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular A^2 = A cdot A = 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 cdot 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 . Isso significa multiplicar A^2 = (1raiz2cdot1raiz2 + (-1raiz2)cdot1raiz2) & (1raiz2cdot(-1raiz2) + (-1raiz2)cdot1raiz2) (1raiz2cdot1raiz2 + 1raiz2cdot1raiz2) & (1raiz2cdot(-1raiz2) + 1raiz2cdot1raiz2) por ela mesma:
A^2 = 0 & -1 1 & 0
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:

Passo 4

Observamos que é uma matriz de rotação que representa uma rotação de . Isso significa que cada vez que multiplicamos por si mesma, estamos aplicando uma rotação adicional de .

Passo 5

Vamos calcular A^4 = 0 & -1 1 & 0 cdot 0 & -1 1 & 0 = -1 & 0 0 & -1 = -I , que é :
Aqui, é a matriz identidade. Então, .

Passo 6

Agora, queremos encontrar A^2001 = (A^4)^500 cdot A = (-I)^500 cdot A . Podemos escrever 2001 como A^2001 = I cdot A = A . Então:
Sabemos que , já que 500 é um número par. Portanto:

Resposta

A^2001 = A = dfrac1raiz2 & -dfrac1raiz2 dfrac1raiz2 & dfrac1raiz2

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