Vamos entender o enunciado. Temos a matriz . O objetivo é encontrar , ou seja, multiplicar a matriz por ela mesma 2001 vezes. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes e suas propriedades, especialmente matrizes ortogonais e potências de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma matriz especial. Observamos que é uma matriz ortogonal, o que significa que , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Matrizes ortogonais têm a propriedade de que suas potências seguem um padrão que facilita os cálculos.
Passo 3
Vamos calcular . Isso significa multiplicar por ela mesma:
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:
Passo 4
Observamos que é uma matriz de rotação que representa uma rotação de . Isso significa que cada vez que multiplicamos por si mesma, estamos aplicando uma rotação adicional de .
Passo 5
Vamos calcular , que é :
Aqui, é a matriz identidade. Então, .
Passo 6
Agora, queremos encontrar . Podemos escrever 2001 como . Então:
Sabemos que , já que 500 é um número par. Portanto: