Seja . Encontre . Justifique.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos a matriz . O objetivo é encontrar , ou seja, multiplicar a matriz por ela mesma 2001 vezes. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes e suas propriedades, especialmente matrizes ortogonais e potências de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma matriz especial. Observamos que é uma matriz ortogonal, o que significa que , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Matrizes ortogonais têm a propriedade de que suas potências seguem um padrão que facilita os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular . Isso significa multiplicar por ela mesma:
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:

Passo 4

Observamos que é uma matriz de rotação que representa uma rotação de . Isso significa que cada vez que multiplicamos por si mesma, estamos aplicando uma rotação adicional de .

Passo 5

Vamos calcular , que é :
Aqui, é a matriz identidade. Então, .

Passo 6

Agora, queremos encontrar . Podemos escrever 2001 como . Então:
Sabemos que , já que 500 é um número par. Portanto:

Resposta

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Dados os planos e , determine o plano que contém e é ortogonal ao vetor .
Seja .
(b) Quanto é ? Por quê?
Prove que .
Faça o escalonamento das matrizes abaixo:
(a)