Seja A=(rr0 & 1 -1 & 1).
(b) Quanto é A^2001 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular , onde é uma matriz 2x2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como potenciação de matrizes e propriedades de matrizes especiais. Precisaremos entender como elevar uma matriz a uma potência grande de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz A = 0 & 1 -1 & 1 :
Queremos encontrar uma maneira de simplificar sem precisar multiplicar a matriz 2001 vezes.

Passo 3

Vamos verificar se a matriz I = 1 & 0 0 & 1 tem alguma propriedade especial que nos ajude. Uma dessas propriedades é se existe algum número inteiro tal que seja a matriz identidade , que é a matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Vamos calcular algumas potências de para identificar um padrão.

Passo 4

Calculando A^2 = A times A = 0 & 1 -1 & 1 times 0 & 1 -1 & 1 = (0 times 0) + (1 times -1) & (0 times 1) + (1 times 1) (-1 times 0) + (1 times -1) & (-1 times 1) + (1 times 1) = -1 & 1 -1 & 0 :
[
A^2 = A \times A =

\times


]

Passo 5

Calculando A^3 = A^2 times A = -1 & 1 -1 & 0 times 0 & 1 -1 & 1 = (-1 times 0) + (1 times -1) & (-1 times 1) + (1 times 1) (-1 times 0) + (0 times -1) & (-1 times 1) + (0 times 1) = -1 & 0 0 & -1 :
[
A^3 = A^2 \times A =

\times


]
Vemos que .

Passo 6

Observando o padrão, notamos que:
A^3 = -I Rightarrow A^6 = (A^3)^2 = (-I)^2 = I
Isso significa que a matriz tem uma ordem 6, ou seja, a cada 6 potências, ela retorna à matriz identidade.

Passo 7

Agora, para calcular 2001 div 6 = 333 com resto 3 , vamos usar essa periodicidade. Dividimos 2001 por 6 para encontrar o resto:
A^2001 = A^6 times 333 + 3 = (A^6)^333 times A^3 = I^333 times A^3 = I times A^3 = A^3
Isso significa que:
E já sabemos que .

Resposta

A^2001 = -I = -1 & 0 0 & -1

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