Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular , onde é uma matriz 2x2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como potenciação de matrizes e propriedades de matrizes especiais. Precisaremos entender como elevar uma matriz a uma potência grande de forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz :
Queremos encontrar uma maneira de simplificar sem precisar multiplicar a matriz 2001 vezes.
Passo 3
Vamos verificar se a matriz tem alguma propriedade especial que nos ajude. Uma dessas propriedades é se existe algum número inteiro tal que seja a matriz identidade , que é a matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Vamos calcular algumas potências de para identificar um padrão.
Passo 4
Calculando :
[
A^2 = A \times A =
\times
]
Passo 5
Calculando :
[
A^3 = A^2 \times A =
\times
]
Vemos que .
Passo 6
Observando o padrão, notamos que:
Isso significa que a matriz tem uma ordem 6, ou seja, a cada 6 potências, ela retorna à matriz identidade.
Passo 7
Agora, para calcular , vamos usar essa periodicidade. Dividimos 2001 por 6 para encontrar o resto: