Seja
.
(b) Quanto é
? Por quê?
(b) Quanto é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular
, onde
é uma matriz 2x2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como potenciação de matrizes e propriedades de matrizes especiais. Precisaremos entender como elevar uma matriz a uma potência grande de forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz
:
Queremos encontrar uma maneira de simplificar
sem precisar multiplicar a matriz 2001 vezes.
Passo 3
Vamos verificar se a matriz
tem alguma propriedade especial que nos ajude. Uma dessas propriedades é se existe algum número inteiro
tal que
seja a matriz identidade
, que é a matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Vamos calcular algumas potências de
para identificar um padrão.
Passo 4
Calculando
:
[
A^2 = A \times A =
\times
]
Passo 5
Calculando
:
[
A^3 = A^2 \times A =
\times
]
Vemos que
.
Passo 6
Observando o padrão, notamos que:
Isso significa que a matriz
tem uma ordem 6, ou seja, a cada 6 potências, ela retorna à matriz identidade.
Passo 7
Agora, para calcular
, vamos usar essa periodicidade. Dividimos 2001 por 6 para encontrar o resto:
Isso significa que:
E já sabemos que
.