Dados os planos pi1: 2 x+y-3 z+1=0, pi2: x+y+z+1=0 e pi3: x-2 y+z+5=0, encontre a equação do plano que contém pi1 cap pi2 e é perpendicular a pi3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação de um plano que contém a interseção dos planos pi1: 2x + y - 3z + 1 = 0 e pi2: x + y + z + 1 = 0, além de ser perpendicular ao plano pi3: x - 2y + z + 5 = 0. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos, pi1 e pi2, é uma reta. Qualquer plano que contenha essa reta pode ser representado como uma combinação linear das equações de pi1 e pi2. Assim, podemos escrever a equação do plano desejado como:
pi = pi1 + lambda pi2
onde lambda é um parâmetro real.

Passo 3

Substituindo as equações de pi1 e pi2 na expressão acima, temos:
2x + y - 3z + 1 + lambda (x + y + z + 1) = 0 (2 + lambda)x + (1 + lambda)y + (-3 + lambda)z + (1 + lambda) = 0

Passo 4

Agora, para que o plano pi seja perpendicular ao plano pi3, os vetores normais dos dois planos devem ser perpendiculares. O vetor normal de pi é (2 + lambda, 1 + lambda, -3 + lambda) e o vetor normal de pi3 é (1, -2, 1). Para que eles sejam perpendiculares, o produto interno deles deve ser zero:
(2 + lambda)(1) + (1 + lambda)(-2) + (-3 + lambda)(1) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação do produto interno:
2 + lambda - 2 - 2lambda - 3 + lambda = 0 (2 - 2 - 3) + (lambda - 2lambda + lambda) = 0 -3 + 0 = 0
Aqui percebemos que a equação leva a uma contradição, o que indica que não há um valor de lambda que satisfaça a condição.

Passo 6

Isso significa que não existe um plano que contenha a interseção de pi1 e pi2 e seja perpendicular a pi3.

Resposta

Não existe um plano que contenha a interseção dos planos pi1 e pi2 e seja perpendicular a pi3.

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