Dados os planos
e
, encontre a equação do plano que contém
e é perpendicular a
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação de um plano que contém a interseção dos planos
e
, além de ser perpendicular ao plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos,
e
, é uma reta. Qualquer plano que contenha essa reta pode ser representado como uma combinação linear das equações de
e
. Assim, podemos escrever a equação do plano desejado como:
onde
é um parâmetro real.
Passo 3
Substituindo as equações de
e
na expressão acima, temos:
Passo 4
Agora, para que o plano
seja perpendicular ao plano
, os vetores normais dos dois planos devem ser perpendiculares. O vetor normal de
é
e o vetor normal de
é
. Para que eles sejam perpendiculares, o produto interno deles deve ser zero:
Passo 5
Resolvendo a equação do produto interno:
Aqui percebemos que a equação leva a uma contradição, o que indica que não há um valor de
que satisfaça a condição.
Passo 6
Isso significa que não existe um plano que contenha a interseção de
e
e seja perpendicular a
.
Resposta
Não existe um plano que contenha a interseção dos planos
e
e seja perpendicular a
.