Dados os planos e , encontre a equação do plano que contém e é perpendicular a .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação de um plano que contém a interseção dos planos e , além de ser perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos, e , é uma reta. Qualquer plano que contenha essa reta pode ser representado como uma combinação linear das equações de e . Assim, podemos escrever a equação do plano desejado como:
onde é um parâmetro real.

Passo 3

Substituindo as equações de e na expressão acima, temos:

Passo 4

Agora, para que o plano seja perpendicular ao plano , os vetores normais dos dois planos devem ser perpendiculares. O vetor normal de é e o vetor normal de é . Para que eles sejam perpendiculares, o produto interno deles deve ser zero:

Passo 5

Resolvendo a equação do produto interno:
Aqui percebemos que a equação leva a uma contradição, o que indica que não há um valor de que satisfaça a condição.

Passo 6

Isso significa que não existe um plano que contenha a interseção de e e seja perpendicular a .

Resposta

Não existe um plano que contenha a interseção dos planos e e seja perpendicular a .

Exercícios relacionados

Sejam e . Seja a reta passando por e paralela a .
(a) Dado um ponto na reta , calcule a distância de a (como função do parâmetro ).
(b) Mostre que existe precisamente um ponto na reta tal que esta distância atinge um mínimo.
© Mostre que é perpendicular à reta .
Determinar a equação do plano que contém o ponto e a reta .
Sejam os planos paralelos
(a) Mostre que a distância entre os planos é
(b) Encontre a distância entre os planos e .
Determine a distância do ponto , interseção dos planos e a reta .