Dados os planos e , encontre a equação do plano que contém e é perpendicular a .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação de um plano que contém a interseção dos planos e , além de ser perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos, e , é uma reta. Qualquer plano que contenha essa reta pode ser representado como uma combinação linear das equações de e . Assim, podemos escrever a equação do plano desejado como:
onde é um parâmetro real.
Passo 3
Substituindo as equações de e na expressão acima, temos:
Passo 4
Agora, para que o plano seja perpendicular ao plano , os vetores normais dos dois planos devem ser perpendiculares. O vetor normal de é e o vetor normal de é . Para que eles sejam perpendiculares, o produto interno deles deve ser zero:
Passo 5
Resolvendo a equação do produto interno:
Aqui percebemos que a equação leva a uma contradição, o que indica que não há um valor de que satisfaça a condição.
Passo 6
Isso significa que não existe um plano que contenha a interseção de e e seja perpendicular a .
Resposta
Não existe um plano que contenha a interseção dos planos e e seja perpendicular a .