Determine a distância do ponto , interseção dos planos e a reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a distância do ponto , que é a interseção de três planos ( , e ), até uma reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de sistemas lineares para achar o ponto e, depois, a fórmula de distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto que está na interseção dos três planos. Isso significa que satisfaz as três equações dos planos simultaneamente. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para achar os valores de , e . Podemos usar o método de substituição ou de eliminação. Vou optar pelo método de eliminação para simplificar.
Primeiro, da terceira equação ( ):
Agora, substituímos na segunda equação ( ):
Agora, substituímos e na primeira equação ( ):
Agora que temos , podemos encontrar :
E então, encontrar :
Então, o ponto é .

Passo 4

Agora que temos o ponto , vamos calcular a distância desse ponto até a reta .
A fórmula para a distância de um ponto até uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde é o vetor que vai de até , e representa o produto vetorial.

Passo 5

Vamos identificar os componentes:
  • Ponto na reta
  • Vetor diretor da reta
  • Ponto
Primeiro, calculamos o vetor :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Também calculamos o módulo do vetor diretor :

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:

Resposta

A distância do ponto à reta é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Sejam os planos paralelos
(a) Mostre que a distância entre os planos é
(b) Encontre a distância entre os planos e .
Dados os planos e , encontre a equação do plano que contém e é perpendicular a .
A interseção das retas , e , é um ponto . Determine a distância de ao plano .
Determinar a posição relativa entre as retas .