Determine a distância do ponto , interseção dos planos e a reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a distância do ponto , que é a interseção de três planos (, e ), até uma reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de sistemas lineares para achar o ponto e, depois, a fórmula de distância entre um ponto e uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto que está na interseção dos três planos. Isso significa que satisfaz as três equações dos planos simultaneamente. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para achar os valores de x + y + z = 2 Rightarrow x = 2 - y - z , (2 - y - z) - y + 2z + 3 = 0 2 - y - z - y + 2z + 3 = 0 2 + 3 - 2y + z = 0 5 - 2y + z = 0 Rightarrow z = 2y - 5 e 2(2 - y - (2y - 5)) + 4y - 5(2y - 5) - 15 = 0 2(2 - y - 2y + 5) + 4y - 10y + 25 - 15 = 0 2(7 - 3y) + 4y - 10y + 10 = 0 14 - 6y + 4y - 10y + 10 = 0 14 + 10 - 12y = 0 24 - 12y = 0 -12y = -24 y = 2 . Podemos usar o método de substituição ou de eliminação. Vou optar pelo método de eliminação para simplificar.
Primeiro, da terceira equação ( z = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1 ):
x = 2 - 2 - (-1) = 2 - 2 + 1 = 1
Agora, substituímos na segunda equação ():
Agora, substituímos e na primeira equação ():
Agora que temos , podemos encontrar :
E então, encontrar :
Então, o ponto é .
Passo 4
Agora que temos o ponto d = |v times AP||v| , vamos calcular a distância desse ponto até a reta .
A fórmula para a distância de um ponto até uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde é o vetor que vai de até , e representa o produto vetorial.
Passo 5
Vamos identificar os componentes:
Ponto na reta AP = P - A = (1 - 0, 2 - 1, -1 - (-2)) = (1, 1, 1)