Determine a distância do ponto P, interseção dos planos pi1: 2 x+4 y-5 z-15=0, pi2: x-y+2 z+3=0 e pi3: x+y+z-2=0 a reta r: X=(0,1,-2)+t(3,2,-1), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a distância do ponto , que é a interseção de três planos ( , e ), até uma reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de sistemas lineares para achar o ponto e, depois, a fórmula de distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto 2x + 4y - 5z - 15 = 0 (pi1) x - y + 2z + 3 = 0 (pi2) x + y + z - 2 = 0 (pi3) que está na interseção dos três planos. Isso significa que satisfaz as três equações dos planos simultaneamente. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para achar os valores de x + y + z = 2 Rightarrow x = 2 - y - z , (2 - y - z) - y + 2z + 3 = 0 2 - y - z - y + 2z + 3 = 0 2 + 3 - 2y + z = 0 5 - 2y + z = 0 Rightarrow z = 2y - 5 e 2(2 - y - (2y - 5)) + 4y - 5(2y - 5) - 15 = 0 2(2 - y - 2y + 5) + 4y - 10y + 25 - 15 = 0 2(7 - 3y) + 4y - 10y + 10 = 0 14 - 6y + 4y - 10y + 10 = 0 14 + 10 - 12y = 0 24 - 12y = 0 -12y = -24 y = 2 . Podemos usar o método de substituição ou de eliminação. Vou optar pelo método de eliminação para simplificar.
Primeiro, da terceira equação ( z = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1 ):
x = 2 - 2 - (-1) = 2 - 2 + 1 = 1
Agora, substituímos na segunda equação ( ):
Agora, substituímos e na primeira equação ( ):
Agora que temos , podemos encontrar :
E então, encontrar :
Então, o ponto é .

Passo 4

Agora que temos o ponto d = |v times AP||v| , vamos calcular a distância desse ponto até a reta .
A fórmula para a distância de um ponto até uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde é o vetor que vai de até , e representa o produto vetorial.

Passo 5

Vamos identificar os componentes:
  • Ponto na reta AP = P - A = (1 - 0, 2 - 1, -1 - (-2)) = (1, 1, 1)
  • Vetor diretor da reta v times AP = i & j & k 3 & 2 & -1 1 & 1 & 1 = i(2 cdot 1 - (-1) cdot 1) - j(3 cdot 1 - (-1) cdot 1) + k(3 cdot 1 - 2 cdot 1) = i(2 + 1) - j(3 + 1) + k(3 - 2) = 3i - 4j + 1k = (3, -4, 1)
  • Ponto |v times AP| = raiz3^2 + (-4)^2 + 1^2 = raiz9 + 16 + 1 = raiz26
Primeiro, calculamos o vetor |v| = raiz3^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14 :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Também calculamos o módulo do vetor diretor :

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = |v times AP||v| = raiz26raiz14 = raiz2614 = raiz137 approx 1,36

Resposta

A distância do ponto à reta é aproximadamente unidades.

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