Determine a distância do ponto , interseção dos planos e a reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a distância do ponto , que é a interseção de três planos (, e ), até uma reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de sistemas lineares para achar o ponto e, depois, a fórmula de distância entre um ponto e uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto que está na interseção dos três planos. Isso significa que satisfaz as três equações dos planos simultaneamente. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para achar os valores de , e . Podemos usar o método de substituição ou de eliminação. Vou optar pelo método de eliminação para simplificar.
Primeiro, da terceira equação ():
Agora, substituímos na segunda equação ():
Agora, substituímos e na primeira equação ():
Agora que temos , podemos encontrar :
E então, encontrar :
Então, o ponto é .
Passo 4
Agora que temos o ponto , vamos calcular a distância desse ponto até a reta .
A fórmula para a distância de um ponto até uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde é o vetor que vai de até , e representa o produto vetorial.
Passo 5
Vamos identificar os componentes:
Ponto na reta
Vetor diretor da reta
Ponto
Primeiro, calculamos o vetor :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Também calculamos o módulo do vetor diretor :
Passo 6
Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Resposta
A distância do ponto à reta é aproximadamente unidades.