Sejam e . Seja a reta passando por e paralela a .
(a) Dado um ponto na reta , calcule a distância de a (como função do parâmetro ).
(b) Mostre que existe precisamente um ponto na reta tal que esta distância atinge um mínimo.
© Mostre que é perpendicular à reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Então, o problema nos dá três pontos no espaço: , e um vetor . A gente precisa trabalhar com uma reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . O que isso significa é que a reta vai seguir a direção do vetor a partir do ponto . O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, vetores e cálculo de distâncias no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar uma reta vetorialmente e como calcular distâncias entre pontos e retas usando parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a reta usando o ponto e o vetor . A forma paramétrica da reta é dada por:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta. Portanto, qualquer ponto na reta pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, no item (a), queremos calcular a distância entre o ponto e um ponto qualquer na reta . A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço é:
Vamos aplicar isso para e :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a distância em função de é .

Passo 5

No item (b), queremos mostrar que existe exatamente um ponto na reta onde essa distância atinge um mínimo. Para encontrar o mínimo de uma função, podemos derivar e igualar a zero.
Vamos derivar em relação a :
Igualando a derivada a zero:
Então, o único ponto crítico é quando , o que significa que a distância tem um mínimo nesse ponto.

Passo 6

Finalmente, no item ©, queremos mostrar que o vetor é perpendicular à reta . Sabemos que é o vetor que liga o ponto ao ponto .
Como no mínimo, o ponto é:
Então, .
Para verificar se é perpendicular à reta , devemos ver se o produto escalar entre e o vetor diretor é zero:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.

Resposta

(a) A distância de a é .
(b) Existe exatamente um ponto na reta onde , ou seja, , onde a distância atinge um mínimo.
© O vetor é perpendicular à reta .

Exercícios relacionados

Determinar a equação do plano que contém o ponto e a reta .
Seja a interseção dos planos e . Encontre uma equação da reta definida pela projeção ortogonal de no plano .
Dados os planos e , encontre a equação do plano que contém e é perpendicular a .
Sejam os planos paralelos
(a) Mostre que a distância entre os planos é
(b) Encontre a distância entre os planos e .