Beleza, vamos lá! Então, o problema nos dá três pontos no espaço: P=(1,2,3), Q=(3,2,1) e um vetor v=(1,1,1). A gente precisa trabalhar com uma reta r que passa pelo ponto P e é paralela ao vetor v. O que isso significa é que a reta r vai seguir a direção do vetor v a partir do ponto P. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, vetores e cálculo de distâncias no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar uma reta vetorialmente e como calcular distâncias entre pontos e retas usando parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a reta r usando o ponto P e o vetor v. A forma paramétrica da reta é dada por:
X(t) = P + t cdot v = (1,2,3) + t cdot (1,1,1) = (1 + t, 2 + t, 3 + t)
Aqui, t é o parâmetro que varia ao longo da reta. Portanto, qualquer ponto X na reta r pode ser escrito como X(t) = (1 + t, 2 + t, 3 + t).
Passo 3
Agora, no item (a), queremos calcular a distância entre o ponto Q = (3,2,1) e um ponto qualquer X(t) na reta r. A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço é:
Então, a distância em função de t é d(t) = raiz3t^2 + 8.
Passo 5
No item (b), queremos mostrar que existe exatamente um ponto X0 na reta r onde essa distância d(t) atinge um mínimo. Para encontrar o mínimo de uma função, podemos derivar e igualar a zero.