Beleza, vamos lá! Então, o problema nos dá três pontos no espaço: , e um vetor . A gente precisa trabalhar com uma reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . O que isso significa é que a reta vai seguir a direção do vetor a partir do ponto . O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, vetores e cálculo de distâncias no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar uma reta vetorialmente e como calcular distâncias entre pontos e retas usando parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a reta usando o ponto e o vetor . A forma paramétrica da reta é dada por:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta. Portanto, qualquer ponto na reta pode ser escrito como .
Passo 3
Agora, no item (a), queremos calcular a distância entre o ponto e um ponto qualquer na reta . A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço é:
Vamos aplicar isso para e :
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a distância em função de é .
Passo 5
No item (b), queremos mostrar que existe exatamente um ponto na reta onde essa distância atinge um mínimo. Para encontrar o mínimo de uma função, podemos derivar e igualar a zero.
Vamos derivar em relação a :
Igualando a derivada a zero:
Então, o único ponto crítico é quando , o que significa que a distância tem um mínimo nesse ponto.