Sejam P=(1,2,3), Q=(3,2,1) e v=(1,1,1). Seja r a reta passando por P e paralela a v.
(a) Dado um ponto X na reta r, calcule a distância de Q a X (como função do parâmetro t ).
(b) Mostre que existe precisamente um ponto X0 na reta tal que esta distância atinge um mínimo.
© Mostre que X0 Q é perpendicular à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Então, o problema nos dá três pontos no espaço: P=(1,2,3), Q=(3,2,1) e um vetor v=(1,1,1). A gente precisa trabalhar com uma reta r que passa pelo ponto P e é paralela ao vetor v. O que isso significa é que a reta r vai seguir a direção do vetor v a partir do ponto P. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, vetores e cálculo de distâncias no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar uma reta vetorialmente e como calcular distâncias entre pontos e retas usando parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a reta r usando o ponto P e o vetor v. A forma paramétrica da reta é dada por:
X(t) = P + t cdot v = (1,2,3) + t cdot (1,1,1) = (1 + t, 2 + t, 3 + t)
Aqui, t é o parâmetro que varia ao longo da reta. Portanto, qualquer ponto X na reta r pode ser escrito como X(t) = (1 + t, 2 + t, 3 + t).

Passo 3

Agora, no item (a), queremos calcular a distância entre o ponto Q = (3,2,1) e um ponto qualquer X(t) na reta r. A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Vamos aplicar isso para Q e X(t):
d(t) = raiz(3 - (1 + t))^2 + (2 - (2 + t))^2 + (1 - (3 + t))^2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
d(t) &= raiz(2 - t)^2 + (-t)^2 + (-2 - t)^2 &= raiz(4 - 4t + t^2) + (t^2) + (4 + 4t + t^2) &= raiz4 - 4t + t^2 + t^2 + 4 + 4t + t^2 &= raiz3t^2 + 8
Então, a distância em função de t é d(t) = raiz3t^2 + 8.

Passo 5

No item (b), queremos mostrar que existe exatamente um ponto X0 na reta r onde essa distância d(t) atinge um mínimo. Para encontrar o mínimo de uma função, podemos derivar e igualar a zero.
Vamos derivar d(t) em relação a t:
ddt d(t) = 12(3t^2 + 8)^-1/2 cdot 6t = 3traiz3t^2 + 8
Igualando a derivada a zero:
3traiz3t^2 + 8 = 0 implies t = 0
Então, o único ponto crítico é quando t = 0, o que significa que a distância tem um mínimo nesse ponto.

Passo 6

Finalmente, no item ©, queremos mostrar que o vetor X0 Q é perpendicular à reta r. Sabemos que X0 Q é o vetor que liga o ponto X0 ao ponto Q.
Como t = 0 no mínimo, o ponto X0 é:
X0 = (1 + 0, 2 + 0, 3 + 0) = (1,2,3)
Então, X0 Q = Q - X0 = (3-1, 2-2, 1-3) = (2,0,-2).
Para verificar se é perpendicular à reta r, devemos ver se o produto escalar entre X0 Q e o vetor diretor v é zero:
(2,0,-2) cdot (1,1,1) = 2 cdot 1 + 0 cdot 1 + (-2) cdot 1 = 2 + 0 - 2 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.

Resposta

(a) A distância de Q a X(t) é d(t) = raiz3t^2 + 8.
(b) Existe exatamente um ponto X0 na reta onde t = 0, ou seja, X0 = (1,2,3), onde a distância atinge um mínimo.
© O vetor X0 Q = (2,0,-2) é perpendicular à reta r.

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