Determinar a equação do plano que contém o ponto e a reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e também contém a reta , que é definida pelo sistema de equações:
Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um plano que contenha um ponto e uma reta, o que envolve vetores e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta . Ela é definida por duas equações lineares, então podemos encontrar um vetor diretor para essa reta. Para isso, resolvemos o sistema de equações para expressar duas das variáveis em função da terceira.
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, podemos parametrizar a reta usando como parâmetro :
Então, um vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, precisamos de um vetor que esteja no plano e seja perpendicular ao vetor normal do plano. Como o plano contém a reta , o vetor diretor está no plano.
Também temos o ponto no plano e qualquer ponto da reta está no plano. Vamos pegar um ponto qualquer na reta . Se escolhermos :
O vetor que vai de para é:

Passo 4

Para encontrar o vetor normal do plano, vamos usar o produto vetorial entre e :
Calculando o produto vetorial:
Então, .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal e o ponto , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes de e são as coordenadas de :
Expandindo e simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Seja a interseção dos planos e . Encontre uma equação da reta definida pela projeção ortogonal de no plano .
Determine uma condição necessária e suficiente para que um plano seja ortogonal ao plano .
Sejam e . Seja a reta passando por e paralela a .
(a) Dado um ponto na reta , calcule a distância de a (como função do parâmetro ).
(b) Mostre que existe precisamente um ponto na reta tal que esta distância atinge um mínimo.
© Mostre que é perpendicular à reta .
Dados os planos e , encontre a equação do plano que contém e é perpendicular a .