Determinar a equação do plano que contém o ponto e a reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e também contém a reta , que é definida pelo sistema de equações:
Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um plano que contenha um ponto e uma reta, o que envolve vetores e o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta . Ela é definida por duas equações lineares, então podemos encontrar um vetor diretor para essa reta. Para isso, resolvemos o sistema de equações para expressar duas das variáveis em função da terceira.
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, podemos parametrizar a reta usando como parâmetro :
Então, um vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, precisamos de um vetor que esteja no plano e seja perpendicular ao vetor normal do plano. Como o plano contém a reta , o vetor diretor está no plano.
Também temos o ponto no plano e qualquer ponto da reta está no plano. Vamos pegar um ponto qualquer na reta . Se escolhermos :
O vetor que vai de para é:
Passo 4
Para encontrar o vetor normal do plano, vamos usar o produto vetorial entre e :
Calculando o produto vetorial:
Então, .
Passo 5
Agora que temos o vetor normal e o ponto , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes de e são as coordenadas de :
Expandindo e simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar: