Determinar a equação do plano que contém o ponto A=(3,2,1) e a reta r:cx+2 y-z-1=0 2 x+y-z+7=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto x + 2y - z - 1 = 0 2x + y - z + 7 = 0 e também contém a reta , que é definida pelo sistema de equações:
Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um plano que contenha um ponto e uma reta, o que envolve vetores e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta (2x + y - z + 7) - (x + 2y - z - 1) = 0 x - y + 8 = 0 Rightarrow x = y - 8 . Ela é definida por duas equações lineares, então podemos encontrar um vetor diretor para essa reta. Para isso, resolvemos o sistema de equações para expressar duas das variáveis em função da terceira.
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
(y - 8) + 2y - z - 1 = 0 3y - z - 9 = 0 Rightarrow z = 3y - 9
Agora, substituímos x = t - 8, y = t, z = 3t - 9 na primeira equação:
Agora, podemos parametrizar a reta usando como parâmetro :
Então, um vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, precisamos de um vetor que esteja no plano e seja perpendicular ao vetor normal do plano. Como o plano contém a reta x = -8, y = 0, z = -9 Rightarrow P = (-8, 0, -9) , o vetor diretor AP = P - A = (-8 - 3, 0 - 2, -9 - 1) = (-11, -2, -10) está no plano.
Também temos o ponto no plano e qualquer ponto da reta está no plano. Vamos pegar um ponto qualquer na reta . Se escolhermos :
O vetor que vai de para é:

Passo 4

Para encontrar o vetor normal n = v times AP do plano, vamos usar o produto vetorial entre n = i & j & k 1 & 1 & 3 -11 & -2 & -10 = i(1 cdot (-10) - 3 cdot (-2)) - j(1 cdot (-10) - 3 cdot (-11)) + k(1 cdot (-2) - 1 cdot (-11)) e n = i(-10 + 6) - j(-10 + 33) + k(-2 + 11) = i(-4) - j(23) + k(9) :
Calculando o produto vetorial:
Então, .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto -4(x - 3) - 23(y - 2) + 9(z - 1) = 0 , podemos usar a fórmula da equação do plano:
-4x + 12 - 23y + 46 + 9z - 9 = 0 -4x - 23y + 9z + 49 = 0
Onde 4x + 23y - 9z - 49 = 0 são as componentes de e são as coordenadas de :
Expandindo e simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:

Resposta

A equação do plano é:
4x + 23y - 9z - 49 = 0

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