Sejam os planos paralelos
(a) Mostre que a distância entre os planos é
(b) Encontre a distância entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a distância entre planos paralelos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois planos paralelos dados pelas equações:
Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois planos. Para isso, precisamos usar a fórmula da distância entre planos paralelos, que utiliza os coeficientes das equações dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a distância entre dois planos paralelos. A fórmula é:
Aqui, , , e são os coeficientes das variáveis , , e nas equações dos planos, e e são os termos constantes.

Passo 3

Vamos entender por que essa fórmula funciona. A distância entre dois planos paralelos é basicamente a distância entre duas “camadas” no espaço. Para encontrar essa distância, pegamos a diferença entre os termos constantes e , que nos dá a medida de quão “separados” estão os planos na direção perpendicular a eles.
Dividimos essa diferença pela norma do vetor normal , que é calculado como . A norma do vetor normal basicamente nos dá o “tamanho” desse vetor, que é necessário para normalizar a diferença e obter a distância real entre os planos.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula na parte (b) do exercício. Temos os planos:
Aqui, identificamos os coeficientes , , , e .

Passo 5

Vamos calcular a diferença entre e :
Agora, vamos calcular a norma do vetor normal :

Passo 6

Finalmente, aplicamos esses valores na fórmula da distância:
Podemos simplificar racionalizando o denominador:

Resposta

A distância entre os planos e é:

Exercícios relacionados

Dados os planos e , encontre a equação do plano que contém e é perpendicular a .
Sejam e . Seja a reta passando por e paralela a .
(a) Dado um ponto na reta , calcule a distância de a (como função do parâmetro ).
(b) Mostre que existe precisamente um ponto na reta tal que esta distância atinge um mínimo.
© Mostre que é perpendicular à reta .
Determine a distância do ponto , interseção dos planos e a reta .
A interseção das retas , e , é um ponto . Determine a distância de ao plano .