Sejam os planos paralelos
(a) Mostre que a distância entre os planos é
(b) Encontre a distância entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a distância entre planos paralelos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois planos paralelos dados pelas equações:
Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois planos. Para isso, precisamos usar a fórmula da distância entre planos paralelos, que utiliza os coeficientes das equações dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a distância
entre dois planos paralelos. A fórmula é:
Aqui,
,
, e
são os coeficientes das variáveis
,
, e
nas equações dos planos, e
e
são os termos constantes.
Passo 3
Vamos entender por que essa fórmula funciona. A distância entre dois planos paralelos é basicamente a distância entre duas “camadas” no espaço. Para encontrar essa distância, pegamos a diferença entre os termos constantes
e
, que nos dá a medida de quão “separados” estão os planos na direção perpendicular a eles.
Dividimos essa diferença pela norma do vetor normal
, que é calculado como
. A norma do vetor normal basicamente nos dá o “tamanho” desse vetor, que é necessário para normalizar a diferença e obter a distância real entre os planos.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula na parte (b) do exercício. Temos os planos:
Aqui, identificamos os coeficientes
,
,
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular a diferença entre
e
:
Agora, vamos calcular a norma do vetor normal
:
Passo 6
Finalmente, aplicamos esses valores na fórmula da distância:
Podemos simplificar racionalizando o denominador:
Resposta
A distância entre os planos
e
é: