Sejam os planos paralelos
a x+b y+c z+d1=0 e a x+b y+c z+d2=0
(a) Mostre que a distância entre os planos é
d=|d1-d2||(a, b, c)|
(b) Encontre a distância entre os planos 2 x+3 y-z-6=0 e 2 x+3 y-z-12=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a distância entre planos paralelos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois planos paralelos dados pelas equações:
a x + b y + c z + d1 = 0 e a x + b y + c z + d2 = 0
Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois planos. Para isso, precisamos usar a fórmula da distância entre planos paralelos, que utiliza os coeficientes das equações dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a distância d = |d1 - d2|raiza^2 + b^2 + c^2 entre dois planos paralelos. A fórmula é:
Aqui, , , e são os coeficientes das variáveis , , e nas equações dos planos, e e são os termos constantes.

Passo 3

Vamos entender por que essa fórmula funciona. A distância entre dois planos paralelos é basicamente a distância entre duas “camadas” no espaço. Para encontrar essa distância, pegamos a diferença entre os termos constantes e , que nos dá a medida de quão “separados” estão os planos na direção perpendicular a eles.
Dividimos essa diferença pela norma do vetor normal , que é calculado como . A norma do vetor normal basicamente nos dá o “tamanho” desse vetor, que é necessário para normalizar a diferença e obter a distância real entre os planos.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula na parte (b) do exercício. Temos os planos:
2x + 3y - z - 6 = 0 e 2x + 3y - z - 12 = 0
Aqui, identificamos os coeficientes , , , e .

Passo 5

Vamos calcular a diferença entre |d1 - d2| = |-6 - (-12)| = |6| = 6 e raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz2^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 :
Agora, vamos calcular a norma do vetor normal :

Passo 6

Finalmente, aplicamos esses valores na fórmula da distância:
d = 6raiz14
Podemos simplificar racionalizando o denominador:
d = 6raiz14 times raiz14raiz14 = 6raiz1414 = 3raiz147

Resposta

A distância entre os planos d = 3raiz147 e é:

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