Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a distância entre planos paralelos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois planos paralelos dados pelas equações:
Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois planos. Para isso, precisamos usar a fórmula da distância entre planos paralelos, que utiliza os coeficientes das equações dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a distância entre dois planos paralelos. A fórmula é:
Aqui, , , e são os coeficientes das variáveis , , e nas equações dos planos, e e são os termos constantes.
Passo 3
Vamos entender por que essa fórmula funciona. A distância entre dois planos paralelos é basicamente a distância entre duas “camadas” no espaço. Para encontrar essa distância, pegamos a diferença entre os termos constantes e , que nos dá a medida de quão “separados” estão os planos na direção perpendicular a eles.
Dividimos essa diferença pela norma do vetor normal , que é calculado como . A norma do vetor normal basicamente nos dá o “tamanho” desse vetor, que é necessário para normalizar a diferença e obter a distância real entre os planos.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula na parte (b) do exercício. Temos os planos:
Aqui, identificamos os coeficientes , , , e .
Passo 5
Vamos calcular a diferença entre e :
Agora, vamos calcular a norma do vetor normal :
Passo 6
Finalmente, aplicamos esses valores na fórmula da distância: