Dados os planos pi1: x+y+z-1=0, pi2: 3 x+y-z=0 e pi3: x+y+z=0, seja pi o plano que contém pi1 cap pi2 e é perpendicular a pi3. Calcule a distância de pi a reta r: X=(1,2,3)+lambda(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três planos: π₁, π₂ e π₃. Queremos encontrar um quarto plano, chamado π, que contém a interseção de π₁ e π₂ e que é perpendicular a π₃. Depois disso, vamos calcular a distância desse plano π até uma reta r dada.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica, como equação de planos, interseção de planos, vetores normais e fórmula de distância entre plano e reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção dos planos π₁ e π₂. A interseção de dois planos é uma reta. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por π₁ e π₂:
x + y + z - 1 = 0 (1) 3x + y - z = 0 (2)
Podemos resolver esse sistema para encontrar as coordenadas da reta de interseção.

Passo 3

Vamos somar as equações (1) e (2) para eliminar o z:
(x + y + z - 1) + (3x + y - z) = 0 + 0 4x + 2y -1 = 0 (3)
Agora, podemos expressar uma variável em termos de outra. Vamos resolver a equação (3) para x:
4x + 2y = 1 x = 1 - 2y4
Vamos chamar y de parâmetro t:
y = t x = 1 - 2t4
Substituindo x e y na equação (1) para encontrar z:
1 - 2t4 + t + z - 1 = 0 1 - 2t + 4t4 + z - 1 = 0 1 + 2t4 + z - 1 = 0 z = 1 - 1 + 2t4 z = 4 -1 -2t4 z = 3 -2t4
Então, a reta de interseção é:
r = ( 14, 0, 34 ) + t ( -12, 1, -12 )

Passo 4

Agora, queremos encontrar o plano π que contém essa reta de interseção e que é perpendicular ao plano π₃.
Primeiro, vamos lembrar que o vetor normal de um plano é o vetor perpendicular a ele. Os vetores normais dos planos são:
n1 = (1, 1, 1) n2 = (3, 1, -1) n3 = (1, 1, 1)
Como π contém a interseção de π₁ e π₂, o vetor normal de π deve ser uma combinação linear dos vetores normais de π₁ e π₂. Ou seja:
n = alpha n1 + beta n2 = alpha (1,1,1) + beta (3,1,-1)
Além disso, π deve ser perpendicular a π₃, o que significa que o vetor normal de π deve ser paralelo ao vetor normal de π₃. Isso implica que:
n cdot n3 = 0
Vamos resolver isso para encontrar α e β.

Passo 5

Calculando o produto escalar:
n cdot n3 = (alpha cdot 1 + beta cdot 3) cdot 1 + (alpha cdot 1 + beta cdot 1) cdot 1 + (alpha cdot 1 + beta cdot (-1)) cdot 1 = 0 (alpha + 3beta) + (alpha + beta) + (alpha - beta) = 0 3alpha + 3beta = 0 alpha + beta = 0 beta = -alpha
Então, podemos escrever o vetor normal de π como:
n = alpha (1,1,1) - alpha (3,1,-1) = alpha (-2, 0, 2) = alpha (-1, 0, 1)
Podemos escolher α = 1 para simplificar, então:
n = (-1, 0, 1)

Passo 6

Agora, usando o vetor normal encontrado, podemos escrever a equação do plano π. Sabemos que π passa por um ponto na reta de interseção, por exemplo, o ponto n cdot (X - X0) = 0 .
A equação geral do plano é:
(-1)(x - 14) + 0(y - 0) + 1(z - 34) = 0 - x + 14 + z - 34 = 0 - x + z - 12 = 0 x - z + 12 = 0
Onde x - z + 12 = 0 e é o ponto dado.
Substituindo:
Então, a equação do plano π é:

Passo 7

Agora, vamos calcular a distância entre o plano π e a reta r: d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 .
A fórmula para a distância entre um plano A = 1, B = 0, C = -1, D = 12 e uma reta parametrizada por é:
onde é um ponto na reta.
Vamos identificar os valores:
Do plano π:
Escolhemos o ponto da reta r.

Passo 8

Substituindo na fórmula:
d = |1 cdot 1 + 0 cdot 2 -1 cdot 3 + 12|raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 d = |1 - 3 + 12|raiz1 + 0 + 1 d = |-2 + 12|raiz2 d = |-4 +12|raiz2 d = |-32|raiz2 d = 32raiz2 d = 32raiz2 = 3raiz24

Resposta

A distância entre o plano π e a reta r é unidades.

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