Dados os planos , e , seja o plano que contém e é perpendicular a . Calcule a distância de a reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três planos: π₁, π₂ e π₃. Queremos encontrar um quarto plano, chamado π, que contém a interseção de π₁ e π₂ e que é perpendicular a π₃. Depois disso, vamos calcular a distância desse plano π até uma reta r dada.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica, como equação de planos, interseção de planos, vetores normais e fórmula de distância entre plano e reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção dos planos π₁ e π₂. A interseção de dois planos é uma reta. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por π₁ e π₂:
Podemos resolver esse sistema para encontrar as coordenadas da reta de interseção.
Passo 3
Vamos somar as equações (1) e (2) para eliminar o z:
Agora, podemos expressar uma variável em termos de outra. Vamos resolver a equação (3) para x:
Vamos chamar y de parâmetro t:
Substituindo x e y na equação (1) para encontrar z:
Então, a reta de interseção é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o plano π que contém essa reta de interseção e que é perpendicular ao plano π₃.
Primeiro, vamos lembrar que o vetor normal de um plano é o vetor perpendicular a ele. Os vetores normais dos planos são:
Como π contém a interseção de π₁ e π₂, o vetor normal de π deve ser uma combinação linear dos vetores normais de π₁ e π₂. Ou seja:
Além disso, π deve ser perpendicular a π₃, o que significa que o vetor normal de π deve ser paralelo ao vetor normal de π₃. Isso implica que:
Vamos resolver isso para encontrar α e β.
Passo 5
Calculando o produto escalar:
Então, podemos escrever o vetor normal de π como:
Podemos escolher α = 1 para simplificar, então:
Passo 6
Agora, usando o vetor normal encontrado, podemos escrever a equação do plano π. Sabemos que π passa por um ponto na reta de interseção, por exemplo, o ponto .
A equação geral do plano é:
Onde e é o ponto dado.
Substituindo:
Então, a equação do plano π é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a distância entre o plano π e a reta r: .
A fórmula para a distância entre um plano e uma reta parametrizada por é:
onde é um ponto na reta.
Vamos identificar os valores:
Do plano π:
Escolhemos o ponto da reta r.
Passo 8
Substituindo na fórmula:
Resposta
A distância entre o plano π e a reta r é unidades.