Suponha uma rotação de um ângulo em um sistema bidimensional , no qual, e . Mostre que nessa base, é a matriz de rotação: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, numa base bidimensional, a matriz de rotação é igual à matriz de rotação padrão:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre como vetores e transformações são representados em matrizes. Precisamos entender como uma rotação afeta as coordenadas de um vetor no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões para os vetores antes e depois da rotação. Temos:
Onde:
e
Aqui, e são as bases originais, enquanto e são as bases após a rotação.
Passo 3
Vamos escrever a transformação matricial aplicando-a ao vetor :
$$
\hat{A}
$$
Isso resulta em:
Passo 4
Sabemos que uma rotação de ângulo no plano altera as coordenadas de acordo com:
Vamos comparar essas equações com as que obtivemos na matriz .