Suponha uma rotação de um ângulo em um sistema bidimensional , no qual, e . Mostre que nessa base, é a matriz de rotação: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, numa base bidimensional, a matriz de rotação é igual à matriz de rotação padrão:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre como vetores e transformações são representados em matrizes. Precisamos entender como uma rotação afeta as coordenadas de um vetor no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões para os vetores antes e depois da rotação. Temos:
Onde:
e
Aqui, e são as bases originais, enquanto e são as bases após a rotação.

Passo 3

Vamos escrever a transformação matricial aplicando-a ao vetor :

$$

\hat{A}


$$
Isso resulta em:

Passo 4

Sabemos que uma rotação de ângulo no plano altera as coordenadas de acordo com:
Vamos comparar essas equações com as que obtivemos na matriz .

Passo 5

Comparando termo a termo:
Para :
Isso implica que:
Para :
Então:

Resposta

Assim, a matriz de rotação é:

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Obtenha uma equação vetorial da reta a partir de suas equações planares.
(d)
Sejam as matrizes genéricas de tamanho no qual e não nulas e diagonais. Mostrar que o comutador . Use a definição de produto matricial: .
Dados os planos , e , seja o plano que contém e é perpendicular a . Calcule a distância de a reta .
Obtenha a interseção da reta com o plano :
(a)