Suponha uma rotação de um ângulo varphi em um sistema bidimensional |x^primerang<==A|xrang<=, no qual, |x^primerang<==sumj=1^2 xj^prime|ej^primerang<= e |xrang<==sumj=1^2 xj|ejrang<=. Mostre que nessa base, A é a matriz de rotação: A=(cccos varphi & sin varphi -sin varphi & cos varphi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, numa base bidimensional, a matriz de rotação A é igual à matriz de rotação padrão:
A = cos varphi & sin varphi -sin varphi & cos varphi
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre como vetores e transformações são representados em matrizes. Precisamos entender como uma rotação afeta as coordenadas de um vetor no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões para os vetores antes e depois da rotação. Temos:
|x'rang<= = A |xrang<=
Onde:
|x'rang<= = x'1 e'1 + x'2 e'2
e
|xrang<= = x1 e1 + x2 e2
Aqui, e1 e e2 são as bases originais, enquanto e'1 e e'2 são as bases após a rotação.

Passo 3

Vamos escrever a transformação matricial A aplicando-a ao vetor |xrang<=:

$$
x'1 x'2 = A x1 x2 = a11 & a12 a21 & a22 x1 x2

\hat{A}
x'1 = a11 x1 + a12 x2

x'2 = a21 x1 + a22 x2
$$
Isso resulta em:

Passo 4

Sabemos que uma rotação de ângulo varphi no plano altera as coordenadas de acordo com:
x'1 = x1 cos varphi - x2 sin varphi
x'2 = x1 sin varphi + x2 cos varphi
Vamos comparar essas equações com as que obtivemos na matriz A.

Passo 5

Comparando termo a termo:
Para x'1:
a11 x1 + a12 x2 = x1 cos varphi - x2 sin varphi
Isso implica que:
a11 = cos varphi e a12 = -sin varphi
Para x'2:
a21 x1 + a22 x2 = x1 sin varphi + x2 cos varphi
Então:
a21 = sin varphi e a22 = cos varphi

Resposta

Assim, a matriz de rotação A é:
A = cos varphi & sin varphi -sin varphi & cos varphi

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