Obtenha a interseção da reta r com o plano pi :
(a) r: X=(1,0,1)+lambda(2,1,3) pi: x+y+z=20

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo da interseção entre uma reta e um plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos utilizar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano.

Passo 2

A reta X = (1, 0, 1) + lambda(2, 1, 3) é dada pela equação vetorial:
x = 1 + 2lambda
Isso significa que qualquer ponto y = 0 + 1lambda = lambda na reta pode ser representado por:
z = 1 + 3lambda
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

O plano x + y + z = 20 é dado pela equação:
Para encontrar o ponto de interseção, precisamos encontrar o valor de que satisfaz essa equação quando substituímos as expressões de da reta na equação do plano.

Passo 4

Substituindo as expressões de (1 + 2lambda) + (lambda) + (1 + 3lambda) = 20 na equação do plano:
1 + 2lambda + lambda + 1 + 3lambda = 20
Simplificando isso:
2 + 6lambda = 20

Passo 5

Agora, resolvemos para 6lambda = 20 - 2 :
6lambda = 18
lambda = 186 = 3

Passo 6

Com o valor de x = 1 + 2(3) = 1 + 6 = 7 encontrado, substituímos de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas de y = 3 :
z = 1 + 3(3) = 1 + 9 = 10

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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