Obtenha a interseção da reta com o plano :
(a)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo da interseção entre uma reta e um plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos utilizar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano.

Passo 2

A reta é dada pela equação vetorial:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser representado por:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

O plano é dado pela equação:
Para encontrar o ponto de interseção, precisamos encontrar o valor de que satisfaz essa equação quando substituímos as expressões de da reta na equação do plano.

Passo 4

Substituindo as expressões de na equação do plano:
Simplificando isso:

Passo 5

Agora, resolvemos para :

Passo 6

Com o valor de encontrado, substituímos de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas de :

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

Exercícios relacionados

Dados os planos , e , seja o plano que contém e é perpendicular a . Calcule a distância de a reta .
Suponha uma rotação de um ângulo em um sistema bidimensional , no qual, e . Mostre que nessa base, é a matriz de rotação: .
Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
(b)
Obtenha uma equação vetorial da reta a partir de suas equações planares.
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